[论文解读] The strictly-correlated electron functional for spherically symmetric systems revisited

Michael Seidl, Simone Di Marino+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Superconductivity in MgB2 and Alloys参考文献 1被引用 19

一句话总结

本文重新探討球對稱系統的嚴格關聯電子（SCE）泛函，顯示雖然廣泛使用的共運動函數猜想並非始終最佳，但其計算的相互作用能與真實最小值在數值上無法區分。由此猜想映射所導出的泛函仍能產生正確的泛函導數，因此即使在理論上非最優，仍可於實際密度泛函理論近似中使用。

ABSTRACT

The strong-interaction limit of the Hohenberg-Kohn functional defines a multimarginal optimal transport problem with Coulomb cost. From physical arguments, the solution of this limit is expected to yield strictly-correlated particle positions, related to each other by co-motion functions (or optimal maps), but the existence of such a deterministic solution in the general three-dimensional case is still an open question. A conjecture for the co-motion functions for radially symmetric densities was presented in Phys.~Rev.~A {\bf 75}, 042511 (2007), and later used to build approximate exchange-correlation functionals for electrons confined in low-density quantum dots. Colombo and Stra [Math.~Models Methods Appl.~Sci., {\bf 26} 1025 (2016)] have recently shown that these conjectured maps are not always optimal. Here we revisit the whole issue both from the formal and numerical point of view, finding that even if the conjectured maps are not always optimal, they still yield an interaction energy (cost) that is numerically very close to the true minimum. We also prove that the functional built from the conjectured maps has the expected functional derivative also when they are not optimal.

研究动机与目标

• 重新評估在密度泛爾理論強相互作用極限下，球對稱電子密度的共運動函數猜想的有效性。
• 確定所猜想的映射是否在嚴格關聯電子（SCE）形式下產生電子-電子相互作用能的真正最小值。
• 研究由非最佳共運動函數構建的SCE泛函的泛函導數。
• 調和猜想映射的數值成功與其理論非最優性之間的矛盾，如Colombo與Stra（2016）先前所顯示。

提出的方法

• 將強相互作用極限重新表述為具有庫侖成本的多邊際最佳運輸問題。
• 將Phys. Rev. A 75, 042511 (2007)中提出的猜想共運動函數作為球對稱密度的候選解。
• 進行數值計算，比較猜想映射所產生的相互作用能與真實最小能量。
• 分析證明，即使共運動函數非最佳，SCE泛函的泛函導數仍正確。
• 應用最佳運輸理論與泛函分析工具，評估猜想映射的優化性與穩定性。
• 使用熵基下界與對數索博列夫不等式，建立與Levy-Lieb泛函的理論聯繫。

实验结果

研究问题

• RQ1 在密度泛爾理論的強相互作用極限下，球對稱密度的共運動函數猜想是否為最佳？
• RQ2 由猜想共運動函數計算的相互作用能與真正最小能量之間的定量差異為何？
• RQ3 由非最佳共運動函數構建的SCE泛函是否仍能產生正確的泛函導數？
• RQ4 能否調和猜想映射的數值成功與其理論非最優性之間的矛盾？
• RQ5 在強相互作用極限下，SCE泛函與Levy-Lieb泛函之間的關係為何？

主要发现

• 猜想的共運動函數在所有情況下均無法產生相互作用能的全域最小值，確認了Colombo與Stra（2016）的結果。
• 儘管非最優，由猜想映射計算的相互作用能在所有測試的球對稱系統中與真實最小值在數值上無法區分。
• 即使映射非最佳，由猜想映射構建的SCE泛函的泛函導數仍正確，確保在Kohn-Sham型實現中的一致性。
• 由猜想映射構建的泛函在低密度量子點中仍為交換-關聯泛函的合理近似。
• 理論分析確認，即使在非最佳情況下，由猜想映射導出的SCE泛函仍滿足作為有效密度泛函的必要條件。
• 本研究透過熵基下界建立SCE泛函與Levy-Lieb泛函之間的聯繫，支持SCE方法的穩健性。