[论文解读] The strong Fatou property of risk measures

Shengzhong Chen, Niushan Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Risk and Portfolio Optimization被引用 10

一句话总结

本文证明了强Fatou性质是确保在重排不变空间上拟凸、分布不变风险度量具有可处理对偶表示的最优连续性条件。它证明了此类泛函是σ(X, L∞)-下半连续的充分必要条件是其具有强Fatou性质，并进一步表明该性质在分布不变或盈余不变风险度量的下确界卷积下保持不变。

ABSTRACT

In this paper, we explore several Fatou-type properties of risk measures. The paper continues to reveal that the strong Fatou property, which was introduced in [17], seems to be most suitable to ensure nice dual representations of risk measures. Our main result asserts that every quasiconvex law-invariant functional on a rearrangement invariant space $\mathcal{X}$ with the strong Fatou property is $σ(\mathcal{X},L^\infty)$ lower semicontinuous and that the converse is true on a wide range of rearrangement invariant spaces. We also study inf-convolutions of law-invariant or surplus-invariant risk measures that preserve the (strong) Fatou property.

研究动机与目标

• 澄清强Fatou性质在确保一般重排不变（r.i.）空间上风险度量对偶表示中的作用。
• 解决经典Fatou性质在Orlicz空间（尤其是LΦ）中无法保证可处理对偶表示的问题。
• 建立拟凸、分布不变泛函在重排不变空间上，强Fatou性质与σ(X, L∞)-下半连续性之间的对偶关系。
• 研究强Fatou性质在分布不变或盈余不变风险度量的下确界卷积下的保持性。
• 阐明在重排不变空间背景下，强Fatou性质、范数下半连续性及其他Fatou型性质之间的关系。

提出的方法

• 作者在固定概率空间(Ω, F, P)上的重排不变（r.i.）函数空间X内开展研究，包括Orlicz空间和Lp空间。
• 他们定义并比较了三种Fatou型性质：标准Fatou性质、超Fatou性质和强Fatou性质，其中后者要求范数有界性与几乎处处收敛性。
• 关键的技术工具是使用拓扑对偶空间L∞和σ(X, L∞)-拓扑，从而实现基于对偶性的刻画。
• 证明依赖于共轭Orlicz空间LΨ的heart HΨ的性质以及顺序连续范数的使用。
• 作者运用Banach同构定理和序理想性质，建立范数等价性与下半连续性。
• 他们应用泛函分析中的结果，包括Fenchel-Moreau对偶性，将强Fatou性质与σ(X, L∞)-下半连续性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 强Fatou性质是否为重排不变空间上拟凸、分布不变泛函的σ(X, L∞)-下半连续性的充分必要条件？
• RQ2 在Orlicz空间中，强Fatou性质如何与范数下半连续性及其他Fatou型性质相关联？
• RQ3 强Fatou性质在分布不变或盈余不变风险度量的下确界卷积下是否保持不变？
• RQ4 空间L∞及其对偶在刻画强Fatou性质中起什么作用？
• RQ5 在模型空间X满足何种条件下，强Fatou性质可推出或与其它形式的下半连续性一致？

主要发现

• 任何具有强Fatou性质的拟凸、分布不变泛函在重排不变空间X上均为σ(X, L∞)-下半连续的。
• 反之，在一大类重排不变空间中，σ(X, L∞)-下半连续性意味着拟凸、分布不变泛函具有强Fatou性质。
• 在Orlicz空间LΦ上，强Fatou性质等价于σ(X, HΨ)-下半连续性，其中HΨ是共轭空间LΨ的heart。
• 在Orlicz空间上的分布不变泛函中，强Fatou性质等价于σ(X, LΨ)-下半连续性、σ(X, HΨ)-下半连续性和σ(X, L∞)-下半连续性。
• 强Fatou性质在分布不变与盈余不变风险度量的下确界卷积下保持不变。
• 性质(⋆)——即X的连续部分的对偶不等于L∞——等价于存在一个非平凡的范数有界、几乎处处趋于零但期望非零的序列，且该性质是强Fatou性质蕴含σ(X, L∞)-下半连续性的必要条件。