[论文解读] The strong renewal theorem with infinite mean via local large deviations

R. A. Doney|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文为无限均值的渐近稳定更新过程（具体针对 $\alpha \in (0,1)$）建立了强更新定理（SRT）成立的必要且充分条件。通过推导出一种改进了Gnedenko局部极限定理误差项的精细局部大偏差界，作者证明：SRT成立当且仅当步长分布满足两个尾部条件：$\lim_{x\to\infty}x\overline{F}(x)p(x)=0$ 与 $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{F}(x)\sum_{1}^{\delta x}\frac{p(x-w)}{w\overline{F}(w)^2}=0$，从而解决了Garsia与Lamperti（1963）所开启的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

A necessary and sufficient condition is established for an asymptotically stable renewal process to satisfy the strong renewal theorem. This result is valid for all alpha in (0, 1), thus completing a result for alpha in (1/2, 1) which was proved in the 1963 paper of Garsia and Lamperti [6]. This paper is superseded by arXiv:1612.07635.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的问题：确定在无限均值情形下，强更新定理（SRT）在更新过程中的必要且充分条件，特别针对 $\alpha \in (0,1)$ 的情形。
• 将SRT结果从此前已知的 $\alpha \in (1/2,1)$ 情况推广至完整的 $\alpha \in (0,1)$ 范围。
• 以步长分布的尾部行为为框架，对SRT给出精确刻画，尤其关注 $p(x)$ 的衰减速率及其与尾部 $\overline{F}(x)$ 的相互作用。
• 将SRT推广至广义更新函数与渐近稳定的子ordinator，展示该方法在相关随机过程中的鲁棒性。

提出的方法

• 推导一个新的局部大偏差界（定理1），改进了在稳定分布吸引域内、$\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$ 的随机游动中Gnedenko局部极限定理的误差项。
• 通过精心选择的指数倾斜参数 $\mu = \frac{\log \Lambda}{\gamma x}$（其中 $\Lambda = (n\overline{F}(x))^{-1}$）来控制大跳跃的贡献。
• 将概率 $P(S_n = x)$ 分解为无大跳跃（$X_n^* \leq \gamma x$）与有大跳跃（$X_n^* > \gamma x$）的路径贡献，并利用尾部估计控制大跳跃部分。
• 应用Potter不等式，将 $\overline{F}(a_n \theta)/\overline{F}(a_n)$ 与幂律行为关联，从而精确控制 $P(S_n = x)$ 的衰减速率。
• 通过分析更新质量函数 $g(x) = \sum_{n=0}^\infty P(S_n = x)$，在所推导条件下证明 $x\overline{F}(x)g(x) \to g(\alpha, \rho)$，从而确立SRT。
• 将该方法推广至非格点子ordinator，通过将局部极限定理与尾部分析适配到Lévy测度，证明了广义更新测度 $G_{\Delta}(x)$ 的类似SRT结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于位于稳定分布吸引域内、$\alpha \in (0,1)$ 且具有无限均值的更新过程，SRT成立的必要且充分条件是什么？
• RQ2 对于重尾分布，在不附加矩或正则变体假设的前提下，如何改进Gnedenko局部极限定理中的误差项？
• RQ3 在与标准更新过程相同的尾部条件下，SRT是否对广义更新函数与子ordinator也成立？
• RQ4 能否将用于格点随机游动的方法适配，以证明在无限均值吸引域内的一般非周期随机游动的SRT？
• RQ5 尾部比值 $p(x)/\overline{F}(x)$ 与涉及 $\overline{F}(w)^{-2}$ 的双重求和在决定SRT有效性中的精确作用是什么？

主要发现

• 当 $\alpha \in (1/2,1)$ 时，SRT无条件成立，与Garsia与Lamperti（1963）的结果一致；但当 $\alpha \in (0,1/2]$ 时，需额外满足尾部条件。
• SRT成立当且仅当 $\lim_{x\to\infty}x\overline{F}(x)p(x) = 0$ 与 $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{F}(x)\sum_{1}^{\delta x}\frac{p(x-w)}{w\overline{F}(w)^2} = 0$，这两个条件对 $\alpha \in (0,1/2]$ 是必要且充分的。
• SRT中的渐近常数为 $g(\alpha,\rho) = \alpha E(Y^{-\alpha}: Y > 0)$，其中 $Y$ 是稳定性参数为 $\alpha$、正性参数为 $\rho$ 的稳定随机变量。
• 当 $\alpha = 1/2$ 时，若 $\overline{F}(x) \sim (cx)^{-1/2}$ 且 $\lim_{x\to\infty}L(x) > 0$，则SRT无需额外条件即成立；但若 $L(x) \to 0$，则SRT不成立，表明存在一个临界边界。
• 该方法可推广至加权广义更新函数 $g_b(x)$，其中 $b(A(x)) = B(x)$，SRT成立的条件为 $\alpha(2+\beta) > 1$，或当 $\alpha(2+\beta) \leq 1$ 时，满足两个尾部条件（29）与（30）。
• 对于渐近稳定的子ordinator，SRT在相同尾部条件下成立：当 $\alpha \in (0,1/2]$ 时，需满足 $\lim_{x\to\infty}x\overline{\Pi}(x)\Pi((x,x+\Delta]) = 0$ 与 $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{\Pi}(x)\int_1^{\delta x}\frac{\Pi(x-dw)}{w\overline{\Pi}(w)^2} = 0$，且当 $\alpha > 1/2$ 时，渐近常数为 $\Delta g(\alpha,\rho)$。