[论文解读] The strong topology of $\omega$-plurisubharmonic functions

Antonio Trusiani|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文在强拓扑下建立了具有预定奇点（相对于全序的模型型包络族）的 ω-拟凸函数空间与具有有限相对能量的非拟全纯测度空间之间的强拓扑同胚关系。证明了在确保相对能量泛函连续的强拓扑（弱拓扑的细化）下，Monge-Ampère 算子是同胚。关键结果是：当测度的 L^p 密度（p > 1）一致有界且奇点全序时，复 Monge-Ampère 方程解的强稳定性成立。

ABSTRACT

On $(X,\omega)$ compact K\"ahler manifold, given a model type envelope $\psi\in PSH(X,\omega)$ (i.e. a singularity type) we prove that the Monge-Amp\`ere operator is an homeomorphism between the set of $\psi$-relative finite energy potentials and the set of $\psi$-relative energy measures endowed with their strong topologies given as the coarsest refinements of the weak topologies such that the relative energies become continuous. Moreover, given a totally ordered family $\mathcal{A}$ of model type envelopes with positive total mass representing different singularities types, the sets $X_{\mathcal{A}}, Y_{\mathcal{A}}$ given respectively as the union of all $\psi$-relative finite energy potentials and of all $\psi$-relative finite energy measures varying $\psi\in\overline{\mathcal{A}}$ have two natural strong topologies which extends the strong topologies on each component of the unions. We show that the Monge-Amp\`ere operator produces an homeomorphism between $X_{\mathcal{A}}$ and $Y_{\mathcal{A}}$. As an application we also prove the strong stability of a sequence of solutions of prescribed complex Monge-Amp\`ere equations when the measures have uniformly $L^{p}$-bounded densities for $p>1$ and the prescribed singularities are totally ordered.

研究动机与目标

• 将 Monge-Ampère 算子扩展为具有预定奇点的 ω-拟凸函数空间与测度空间之间的同胚映射。
• 定义并研究基于全序奇点族索引的势函数与测度空间并集上的强拓扑。
• 在测度密度一致有界于 L^p（p > 1）且奇点全序的条件下，建立复 Monge-Ampère 方程解的强稳定性。
• 将已知的有限能量势函数与测度之间的同胚关系推广至更广义的、有序的奇点族。

提出的方法

• 在 ψ-相对有限能量势函数空间上引入一种强拓扑，即最粗的弱拓扑细化，使得 ψ-相对能量泛函连续。
• 通过双生能量泛函 E∗_ψ 的连续性，定义相应的强拓扑于 ψ-相对有限能量测度空间上。
• 在全序族 A ⊂ M+ 上的 E1(X, ω, ψ) 的并集 XA 上构造一个完备度量 dA，使其在每个分量上均扩展度量 d。
• 利用 Finsler 度量 |f|1,ϕ = ∫_X |f|MAω(ϕ) 及其关联距离 d(u,v) = E(u)+E(v)−2E(Pω(u,v)) 定义度量拓扑。
• 应用相对能量理论与相对 Monge-Ampère 算子理论，证明在这些拓扑下 MAω 的连续性与双射性。
• 运用紧致性、弱收敛与容量收敛论证，建立在 L^p 有界密度下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Monge-Ampère 算子能否被扩展为在超越单个模型型包络的 ω-拟凸函数与测度更大空间之间的同胚？
• RQ2 在由全序奇点族索引的势函数与测度空间并集上，自然的强拓扑是什么？
• RQ3 并集上的强拓扑与每个分量空间上的强拓扑之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，具有预定奇点的复 Monge-Ampère 方程解序列会强收敛？
• RQ5 当测度具有统一 L^p 有界密度（p > 1）且奇点全序时，是否存在解的强稳定性结果？

主要发现

• Monge-Ampère 算子 MAω 是 (X_A,norm, d_A) 与 (Y_A, strong) 之间的同胚，其中 X_A 是全序族 A ⊂ M+ 上 ψ-相对有限能量势函数的并集，Y_A 是相应 ψ-相对有限能量测度的并集。
• X_A 上的强拓扑是使 ψ-相对能量泛函 E_ψ 连续的最粗弱拓扑细化，且与由 d_A 诱导的度量拓扑一致。
• Y_A 上的强拓扑是使对偶能量泛函 E∗_ψ 连续的最粗弱拓扑细化。
• 对于满足 MAω(uk) = fkω^n 且 fk 在 L^p（p > 1）中一致有界的解序列 (uk)，当 ψk → ψ 在 A 中时，解强收敛于 X_A 中的 u，且满足 MAω(u) = fω^n。
• 强收敛蕴含容量收敛，如定理 6.3 所示。
• 该结果推广了已知的 L^p 有界条件下的强稳定性，并将同胚关系扩展至有序奇点族，解决了复 Monge-Ampère 方程稳定性理论中的一个关键问题。