[论文解读] The Strongly Antimagic labelings of Double Spiders

Fei-Huang Chang, Pinhui Chin+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文证明了所有双蜘蛛图——即恰好有两个度数至少为三的顶点的树——都是强反魔幻的，这意味着它们存在一种双射边标记，使得顶点和互不相同且按度数严格递增。作者通过一种保持度数顺序的构造性标记方案实现这一结论，扩展了关于蜘蛛图和路径图的先前结果，并支持图论中更广泛的反魔幻标记猜想。

ABSTRACT

A graph $G=(V,E)$ is strongly antimagic, if there is a bijective mapping $f: E o \{1,2,\ldots,|E|\}$ such that for any two vertices $u eq v$, not only $\sum_{e \in E(u)}f(e) e \sum_{e\in E(v)}f(e)$ and also $\sum_{e \in E(u)}f(e) < \sum_{e\in E(v)}f(e)$ whenever $°(u)< °(v) $, where $E(u)$ is the set of edges incident to $u$. In this paper, we prove that double spiders, the trees contains exactly two vertices of degree at least 3, are strongly antimagic.

研究动机与目标

• 解决双蜘蛛图类的猜想2（即除K₂外所有树都是反魔幻的）。
• 建立强反魔幻标记的存在性——即顶点和严格随度数递增。
• 将引理1中的归纳方法推广，以从较小图构造更大的强反魔幻图。
• 基于将双蜘蛛图分解为核心路径、左臂和右臂的结构，提供系统化的标记框架。
• 为未来探索更复杂树族的强反魔幻标记及其在图积中的应用奠定基础。

提出的方法

• 将双蜘蛛图分解为三个边不相交的组成部分：核心路径$P^{\text{core}}$、左臂$L$和右臂$R$，其中$v_l$和$v_r$为核心的端点。
• 根据$L$和$R$中臂的数量以及$v_l$和$v_r$的度数，将双蜘蛛图分为四类，以应用定制化的标记规则。
• 应用一种标记规则，以确保顶点和$\varphi_f(u)$严格随度数递增：$\deg(u) < \deg(v) \Rightarrow \varphi_f(u) < \varphi_f(v)$。
• 采用改进的标记策略：新边的标签按其关联顶点的顶点和递增顺序分配，从而保持度数顺序性质。
• 使用归纳构造法（引理1），通过向度数为1的顶点添加叶子，将强反魔幻标记扩展到超图，新边标签根据现有顶点和的顺序分配。
• 为度数为1和度数为2的顶点提供详细的标记规则，更高度数顶点的完整比较留待附录处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有双蜘蛛图是否都是强反魔幻的，即是否存在一种边标记使得顶点和互不相同且按度数严格递增？
• RQ2 引理1中的归纳构造能否推广，以在向度数相同的顶点添加边时仍保持强反魔幻性质？
• RQ3 强反魔幻标记的存在是否意味着对所有$k \geq 0$都存在$k$-反魔幻标记？
• RQ4 是否存在一个图是$k$-反魔幻但不是$(k+1)$-反魔幻的，从而表明强顺序性质的失效？
• RQ5 能否克服具有多个高阶顶点的树的结构约束，以证明所有长毛虫图或一般树的反魔幻标记？

主要发现

• 所有双蜘蛛图都是强反魔幻的，通过构造满足度数有序顶点和条件的显式边标记得到证明。
• 标记规则确保：对任意两个顶点$u$和$v$，当$\deg(u) < \deg(v)$时，有$\varphi_f(u) < \varphi_f(v)$，且所有顶点和互不相同。
• $v_l$的顶点和严格大于$v_r$的顶点和，且两者均大于所有度数为2的顶点的顶点和，该结论已在附录中验证。
• 引理1中的构造方法允许通过以度数顺序向度数为1的顶点添加叶子，将任意强反魔幻图扩展为更大的强反魔幻图。
• 结果支持更广泛的猜想：所有至多有两个度数$\geq 3$的顶点的树都是反魔幻的，并扩展了关于蜘蛛图和路径图的已知结果。
• 本文确立了当$k=0$时，具有强性质（顶点和顺序与度数顺序匹配）的$k$-反魔幻标记等价于强反魔幻标记，且此类标记可被翻译为任意$k \geq 0$。