[论文解读] The structure of a symplectic manifold on the space of loops of 7-manifold

M. V. Movshev|ArXiv.org|Nov 14, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文在G₂流形的无参数化环路空间上构建了一个辛结构，该G₂流形是一种具有特殊全纯性的七维黎曼流形。利用G₂结构的内在几何，作者在自由环路空间上定义了一个闭的、非退化的2-形式，使其成为一个辛流形，并在此背景下发展了拉格朗日子流形交点理论的基础工具。

ABSTRACT

We define a symplectic structure on the space of non parametrized loops in $G_2$ manifold. We also develop some basics of intersection theory of Lagrangian submanifolds.

研究动机与目标

• 在G₂流形的无参数化环路空间上定义一个自然的辛结构。
• 在例外全 holonomy 的背景下，探讨该辛结构的几何与拓扑影响。
• 为7维流形环路空间中拉格朗日子流形的交点理论奠定基础。
• 将辛几何中的技术扩展到具有G₂全 holonomy 的流形，即一类特殊的黎曼流形。

提出的方法

• 利用7维流形上的G₂结构，在自由环路空间上定义一个闭的、非退化的2-形式。
• 通过在环路上对基本微分形式进行积分来构造辛形式，利用G₂结构的内在3-形式和度量。
• 施加重参数化不变性，使其下降到无参数化环路的空间。
• 应用标准辛几何技术分析所得结构，包括2-形式的非退化性。
• 在此无限维辛设置下，发展拉格朗日子流形理论的基础工具。
• 依赖微分几何方法及G₂流形的性质，特别是其校准性和全 holonomy。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在G₂流形的无参数化环路空间上自然地定义一个辛结构？
• RQ2 7维流形上的G₂结构如何在其环路空间上诱导出一个辛形式？
• RQ3 所得环路辛流形的几何与拓扑性质是什么？
• RQ4 在此背景下，如何定义并研究拉格朗日子流形？
• RQ5 该辛结构对例外全 holonomy 中的镜像对称或几何量子化有何影响？

主要发现

• 在G₂流形的无参数化环路空间上构造了一个闭的、非退化的2-形式，使其具备辛结构。
• 该辛形式源自对由G₂结构导出的基本微分形式在环路上的积分。
• 该构造在重参数化下保持不变，确保形式能下降到无参数化环路的商空间。
• 本文建立了在此无限维辛设置下研究拉格朗日子流形的基础工具。
• 该结果为通过辛技术探索G₂流形提供了一个新的几何框架。