[论文解读] The structure of corings: Induction functors, Maschke-type theorem, and Frobenius and Galois-type properties

Tomasz Brzeziński|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文提出了一种关于余代数的范畴框架，聚焦于诱导函子、可分性以及弗罗贝尼乌斯/伽罗瓦型性质。它建立了当从余模到模的遗忘函子是可分或弗罗贝尼乌斯时的条件，引入了伽罗瓦余代数，并证明了当且仅当余代数是伽罗瓦的且基环在余不变子环上是忠实平坦时，诱导函子构成一个等价函子。

ABSTRACT

Given a ring $A$ and an $A$-coring $\cC$ we study when the forgetful functor from the category of right $\cC$-comodules to the category of right $A$-modules and its right adjoint $-\otimes_A\cC$ are separable. We then proceed to study when the induction functor $-\otimes_A\cC$ is also the left adjoint of the forgetful functor. This question is closely related to the problem when $A o {}_A{ m Hom}(\cC,A)$ is a Frobenius extension. We introduce the notion of a Galois coring and analyse when the tensor functor over the subring of $A$ fixed under the coaction of $\cC$ is an equivalence. We also comment on possible dualisation of the notion of a coring.

研究动机与目标

• 研究从 A-余代数上的右余模范畴到右 A-模范畴的遗忘函子何时是可分的。
• 确定诱导函子 $-\otimes_A \mathcal{C}$ 何时同时是遗忘函子的左和右伴随，即构成弗罗贝尼乌斯函子。
• 定义并分析伽罗瓦余代数，其中从余不变子模到余模的诱导函子成为范畴等价。
• 通过 $C$-代数胚研究对偶概念，将结果推广到对偶结构，如余模函子和对偶可分性条件。

提出的方法

• 使用遗忘函子 $U: \mathbf{M}^\mathcal{C} \to \mathbf{M}_A$ 及其右伴随 $-\otimes_A \mathcal{C}$ 来研究可分性和弗罗贝尼乌斯性质。
• 应用余代数 $\mathcal{C}$ 的余可分性概念，推导出余模的马什克型定理。
• 通过 $A$ 中的余不变子环 $B$ 定义伽罗瓦余代数，其中 $A$ 是右 $\mathcal{C}$-余模。
• 证明 $-\otimes_B A$ 是等价函子当且仅当 $A$ 是左 $B$-模的忠实平坦模且 $\mathcal{C}$ 是伽罗瓦余代数。
• 通过引入 $C$-代数胚作为 $A$-余代数的对偶，将结果对偶化，并提出可分性和弗罗贝尼乌斯条件的对偶形式。
• 使用斯威德尔记法表示共作用和共乘积，并利用双模映射和余理想条件来刻画不变量与余不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 $\mathcal{C}$-余模到 $A$-模的遗忘函子在何时是可分的？
• RQ2 在何种条件下，诱导函子 $-\otimes_A \mathcal{C}$ 同时是遗忘函子的左和右伴随？
• RQ3 诱导函子 $-\otimes_B A$ 从 $B$-模到 $\mathcal{C}$-余模在何时成为等价函子？
• RQ4 余代数理论如何被对偶化为 $C$-代数胚？对偶形式的可分性和弗罗贝尼乌斯性质是什么？
• RQ5 弗罗贝尼乌斯扩张 $A \to {}_A\mathrm{Hom}(\mathcal{C}, A)$ 与诱导函子的弗罗贝尼乌斯性质之间有何关系？

主要发现

• 遗忘函子 $U: \mathbf{M}^\mathcal{C} \to \mathbf{M}_A$ 是可分的当且仅当余代数 $\mathcal{C}$ 是余可分的。
• 诱导函子 $-\otimes_A \mathcal{C}$ 是弗罗贝尼乌斯函子当且仅当 $A \to {}_A\mathrm{Hom}(\mathcal{C}, A)$ 是弗罗贝尼乌斯扩张。
• 一个余代数 $\mathcal{C}$ 是伽罗瓦的，当且仅当代数映射 $\chi: \mathcal{C} \to A \square_B A$ 是同构，其中 $B$ 是 $A$ 中的余不变子环。
• 若 $\mathcal{C}$ 是左 $A$-模的平坦模，则 $-\otimes_B A: \mathbf{M}_B \to \mathbf{M}^\mathcal{C}$ 是等价函子当且仅当 $A$ 是左 $B$-模的忠实平坦模且 $\mathcal{C}$ 是伽罗瓦余代数。
• 函子 $\mathbf{M}_\mathcal{A} \to \mathbf{M}^C$ 的对偶是函子 $-\square_C \mathcal{A}$，它可分当且仅当存在一个映射 $e: \mathcal{A} \to k$ 满足 $ (e \otimes C) \circ \rho^\mathcal{A} = (C \otimes e) \circ {}^\mathcal{A}\rho $ 且 $ e \circ \eta_\mathcal{A} = \epsilon $。
• 对于一个 $C$-代数胚 $\mathcal{A}$，伽罗瓦 $C$-代数胚通过同构 $\chi: \mathcal{A} \to C \square_B C$ 定义，其中 $\kappa = (\epsilon \square_B \epsilon) \circ \chi$，且 $\kappa$ 是一个非平凡特征。