[论文解读] The Structure of Decoherence-free Subsystems

Ji Guan, Yuan Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文为开放量子系统中的退相干自由子系统建立了全面的结构理论，通过一种新颖的算法系统性地识别出所有最大此类子系统。通过推广已知的无噪声子系统结构，作者揭示了希尔伯特空间的分解，阐明了超算符如何决定退相干自由动力学，并将其应用于矩阵乘积态和量子多体系统。

ABSTRACT

Decoherence-free subsystems have been successfully developed as a tool to preserve fragile quantum information against noises. In this letter, we develop a structure theory for decoherence-free subsystems. Based on it, we present an effective algorithm to construct a set of maximal decoherence-free subsystems in the sense that any other such subsystem is a subspace of one of them. As an application of these techniques in quantum many body systems, we propose a simple and numerically robust method to determine if two irreducible tensors are repeated, a key step in deciding if they are equivalent in generating matrix product states.

研究动机与目标

• 建立退相干自由子系统的完整结构理论，推广现有的无噪声子系统理论。
• 解决针对给定量子操作（超算符）缺乏系统方法识别所有退相干自由子系统（尤其是最大子系统）的问题。
• 提供一种数值稳定的算法，以构造一组最大退相干自由子系统，使得任何其他此类子系统均为其中之一的子空间。
• 将该结构理论应用于矩阵乘积态，实现对量子多体系统中不可约分量张量基的高效计算。

提出的方法

• 引入希尔伯特空间的唯一正交分解：$\mathcal{H} = \bigoplus_{l=1}^{L} \mathcal{X}_l \oplus \mathcal{K}$，其中每个 $\mathcal{X}_l$ 为具有连续相干性的相互正交的极小子空间块。
• 将极小子空间之间的连续相干性定义为对称且传递的关系，从而将其分组为等价类，构成 $\mathcal{X}_l$ 块。
• 将超算符 $\mathcal{E}$ 的Kraus算符表示为具有幺正相位 $U_l = \text{diag}(e^{i\theta_{l,p}})$ 的分块对角形式，反映每个 $\mathcal{X}_l$ 内部的相干演化。
• 利用 $\mathcal{E}$ 的不动点结构 $\text{fix}(\mathcal{E}) \simeq \bigoplus_l [\mathcal{L}(\mathbb{C}^{m_l}) \otimes \rho_l] \oplus 0_\mathcal{K}$ 来表征退相干自由子系统。
• 通过识别 $\mathcal{X}_l$ 块并将其分解为 $\mathcal{X}_l \simeq \mathbb{C}^{m_l} \otimes \mathcal{B}_l$ 构建算法，其中 $\mathcal{B}_l$ 在有效通道 $\mathcal{E}_l$ 下不可约。
• 通过确定不可约张量是否重复，将该框架应用于矩阵乘积态，利用推导出的基来检验是否生成相同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于底层超算符系统表征退相干自由子系统的结构？
• RQ2 极小子空间之间的连续相干性与希尔伯特空间分解为退相干自由块之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否为任意给定的超算符开发一个完整算法，以找到所有最大退相干自由子系统？
• RQ4 如何将此结构理论应用于确定矩阵乘积态构造中不可约张量的等价性？
• RQ5 不动点代数 $\text{fix}(\mathcal{E})$ 在识别最大退相干自由子系统中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了唯一的正交分解 $\mathcal{H} = \bigoplus_{l=1}^{L} \mathcal{X}_l \oplus \mathcal{K}$，其中每个 $\mathcal{X}_l$ 对应一个最大退相干自由子系统。
• 每个 $\mathcal{X}_l$ 可分解为 $\mathcal{X}_l \simeq \mathbb{C}^{m_l} \otimes \mathcal{B}_l$，其中 $\mathcal{B}_l$ 在有效通道 $\mathcal{E}_l$ 下不可约，且超算符 $\mathcal{E}$ 的Kraus算符表现出具有幺正相位 $U_l$ 的分块结构。
• 不动点代数 $\text{fix}(\mathcal{E})$ 同构于 $\bigoplus_l [\mathcal{L}(\mathbb{C}^{m_l}) \otimes \rho_l] \oplus 0_\mathcal{K}$，其中 $\rho_l$ 是 $\mathcal{E}_l$ 的唯一平稳态，确认了无噪声子系统结构作为特例。
• 该算法构造了一组最大退相干自由子系统，使得任何其他此类子系统均为其中之一的子空间，实现了完整的分类。
• 该方法可实现对矩阵乘积态构造中两个不可约张量是否重复的数值稳定判断，这是检验张量等价性的关键步骤。
• 该框架推广了无噪声子系统理论，并为离散和连续时间量子系统中的退相干自由动力学识别提供了线性代数与算法相结合的方法。