[论文解读] The structure of Hopf algebras giving Hopf-Galois structures on Quaternionic extensions

Stuart Jonathon Taylor, Paul J. Truman|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文对伽罗瓦扩张中伽罗瓦群同构于四元数群 $Q_8$ 的所有霍普夫-伽罗瓦结构进行了分类，确定了在特征为零的域 $F$ 下，相关霍普夫代数作为霍普夫代数和作为 $F$-代数时的同构关系。它计算了显式的韦德伯恩-阿廷分解，并表明霍普夫代数的 $F$-代数结构取决于相关四元数代数的同构类，存在三种可能情况：代数为分裂或除法代数。

ABSTRACT

Let $L/F$ be a Galois extension of fields with Galois group isomorphic to the quaternion group of order $ 8 $. We describe all of the Hopf-Galois structures admitted by $ L/F $, and determine which of the Hopf algebras that appear are isomorphic as Hopf algebras. In the case that $ F $ has characteristic zero we also determine which of these Hopf algebras are isomorphic as $ F $-algebras and explicitly compute their Wedderburn-Artin decompositions.

研究动机与目标

• 对伽罗瓦群同构于四元数群 $Q_8$ 的伽罗瓦扩张 $L/F$ 所允许的所有霍普夫-伽罗瓦结构进行分类。
• 确定这些结构所导出的霍普夫代数中，哪些作为 $F$-霍普夫代数是同构的。
• 当 $F$ 的特征为零时，计算这些霍普夫代数的韦德伯恩-阿廷分解。
• 识别哪些霍普夫代数作为 $F$-代数是同构的，特别是通过其分解为矩阵代数和四元数代数的形式。

提出的方法

• 使用格赖瑟-帕雷吉斯定理，作者通过 $\operatorname{Perm}(G)$ 中被左正则表示 $\lambda(G)$ 所正规化的正则子群 $N$ 来对霍普夫-伽罗瓦结构进行分类。
• 对每个此类正则子群 $N$，对应的霍普夫代数构造为 $L[N]^G$，即 $L[N]$ 上 $G$-作用下的固定子代数。
• 作者显式计算了霍普夫代数 $L[D_{s, ho}]^G$、$L[D_{t, ho}]^G$ 和 $L[D_{st, ho}]^G$ 的 $F$-基，识别出一个同构于四元数代数的 4 维 $F$-子代数。
• 他们应用韦德伯恩-阿廷定理，将每个霍普夫代数分解为 $F$ 上的矩阵代数与四元数代数的乘积，利用布劳尔群比较同构类型。
• 通过布劳尔群分析这些四元数代数的同构类，特别比较了类 $[-1,a]$、$[-1,b]$ 和 $[-1,ab]$。
• 在 $\mathbb{Q}$ 上构造了例子，以展示所有三种可能情况：三个四元数代数全部分裂，仅一个分裂，或三个均为非同构的除法代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在伽罗瓦群为 $Q_8$ 的伽罗瓦扩张 $L/F$ 上，存在多少个不同的霍普夫-伽罗瓦结构？
• RQ2 这些结构所导出的霍普夫代数中，哪些作为 $F$-霍普夫代数是同构的？
• RQ3 当 $F$ 的特征为零时，每个霍普夫代数 $L[N]^G$ 的韦德伯恩-阿廷分解是什么？
• RQ4 霍普夫代数在何时作为 $F$-代数同构，这如何依赖于其相关四元数代数的同构类？
• RQ5 这些霍普夫代数的 $F$-代数结构可能的同构类型有哪些，它们如何随域 $F$ 变化？

主要发现

• 在 $Q_8$-扩张 $L/F$ 上恰好存在五个霍普夫-伽罗瓦结构，对应于 $\operatorname{Perm}(G)$ 中被 $\lambda(G)$ 正规化的五个正则子群 $N$。
• 经典霍普夫-伽罗瓦结构对应于 $N = \rho(G)$，给出群代数 $F[G]$，而规范的非经典结构则来自 $N = \lambda(G)$。
• 其余三个结构分别对应于子群 $D_{s,\rho}$、$D_{t,\rho}$、$D_{st,\rho}$，每个结构给出的霍普夫代数 $L[N]^G$ 分别同构于 $F^4 \times (-1,a)_F$、$F^4 \times (-1,b)_F$ 和 $F^4 \times (-1,ab)_F$。
• 当 $F$ 的特征为零时，每个霍普夫代数的 $F$-代数结构由其韦德伯恩-阿廷分解决定，其中 4 维部分为 $F^4$，其余部分为一个四元数代数。
• 霍普夫代数作为 $F$-代数同构，当且仅当其相关四元数代数同构，这恰好发生在布劳尔群中 $(-1,x)_F \cong (-1,y)_F$ 时。
• 可以出现三种不同的 $F$-代数同构类型：三个四元数代数全部分裂（同构于 $M_2(F)$），仅一个分裂，或三个均为非同构的除法代数，如 $\mathbb{Q}$ 上的例子所示。