[论文解读] The structure of k-planar graphs.

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 12

一句话总结

本文将平面图的结构分解结果推广至k-平面图，证明了每个k-平面图都是某棵宽度为O(k⁵)的图与一条路径的强积图的子图。这首次为非极小封闭图类建立了此类积结构，且意味着k-平面图的非重复着色数有界，通过捷径系统可推广至任意曲面。

ABSTRACT

Dujmovic et al. (FOCS 2019) recently proved that every planar graph is a subgraph of the strong product of a graph of bounded treewidth and a path. This tool has been used to solve longstanding problems on queue layouts, non-repetitive colouring, $p$-centered colouring, and implicit graph encoding. We generalise this result for $k$-planar graphs, where a graph is $k$-planar if it has a drawing in the plane in which each edge is involved in at most $k$ crossings. In particular, we prove that every $k$-planar graph is a subgraph of the strong product of a graph of treewidth $O(k^5)$ and a path. This is the first result of this type for a non-minor-closed class of graphs. It implies, amongst other results, that $k$-planar graphs have non-repetitive chromatic number upper-bounded by a function of $k$. All these results generalise for drawings of graphs on arbitrary surfaces. In fact, we work in a much more general setting based on so-called shortcut systems that are of independent interest.

研究动机与目标

• 将此前仅适用于平面图的强积结构定理扩展至k-平面图这一非极小封闭图类。
• 通过有界树宽图与路径，为k-平面图建立结构分解。
• 将队列布局、非重复着色与隐式编码等结果推广至k-平面图。
• 基于捷径系统开发一个通用框架，适用于k-平面图之外的图类。
• 将结果推广至嵌入在任意曲面上的图。

提出的方法

• 引入并形式化基于捷径系统的通用框架，以捕捉图绘制的结构特性。
• 利用k-平面图绘制的几何性质——每条边最多参与k次交叉——定义分层分解。
• 构建一棵树宽为O(k⁵)的图，通过边交叉模式捕捉k-平面图的局部结构。
• 证明每个k-平面图都是该有界树宽图与一条路径的强积图的子图。
• 利用积结构推导出非重复着色数及其他图参数的界。
• 通过将捷径系统适配至拓扑约束，将该框架扩展至嵌入在任意曲面上的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 强积结构定理能否从平面图推广至k-平面图这一非极小封闭图类？
• RQ2 k-平面图的积结构分解中，树宽对k的依赖关系如何？
• RQ3 k-平面图的非重复着色及其他组合参数能否以k为参数有界？
• RQ4 该框架如何推广至平面以外的曲面上绘制的图？
• RQ5 k-平面图绘制的何种结构特性使得此类分解成为可能？

主要发现

• 每个k-平面图都是某棵树宽为O(k⁵)的图与一条路径的强积图的子图。
• 这是首个针对非极小封闭图类的积结构定理。
• k-平面图的非重复着色数由k的函数有界。
• 通过相同的捷径系统框架，结果可推广至嵌入在任意曲面上的图。
• 捷径系统框架本身具有独立兴趣，且可推广至k-平面图之外。
• 该方法为k-平面图的队列布局、p-中心着色与隐式图编码提供了新界。