[论文解读] The su(n) WZNW fusion ring as integrable model: a new algorithm to compute fusion coecien ts

Christian Korff|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，通过可积统计力学计算 su(n) WZNW 融合环中的融合系数。通过将顶点模型的转移矩阵与杨-巴克斯方程的解联系起来，并利用非交换局部仿射普拉克代数表示，作者推导出类似施尔多项式的多项式，其自同态映射产生融合矩阵，而贝特向量则提供了一个特征基，作为融合代数中的幂等元。

ABSTRACT

This is a proceedings article reviewing a recent combinatorial construction of the b su(n)k WZNW fusion ring by C. Stroppel and the author. It contains one novel aspect: the explicit derivation of an algorithm for the computation of fusion coecien ts dieren t from the KacWalton formula. The discussion is presented from the point of view of a vertex model in statistical mechanics whose partition function generates the fusion coecien ts. The statistical model can be shown to be integrable by linking its transfer matrix to a particular solution of the Yang-Baxter equation. This transfer matrix can be identied with the generating function of an (innite) set of polynomials in a noncommutative alphabet: the generators of the local ane plactic algebra. The latter is a generalisation of the plactic algebra occurring in the context of the Robinson-Schensted correspondence. One can dene analogues of Schur polynomials in this noncommutative alphabet which become identical to the fusion matrices when represented as endomorphisms over the state space of the integrable model. Crucial is the construction of an eigenbasis, the Bethe vectors, which are the idempotents of the fusion algebra.

研究动机与目标

• 开发一种超越卡克斯-沃尔顿公式的计算 su(n) WZNW 融合环中融合系数的替代方法。
• 通过杨-巴克斯方程在融合环与可积统计模型之间建立联系。
• 利用源自局部仿射普拉克代数的非交换字母表中的多项式构造融合系数的生成函数。
• 在非交换设定中识别出类似施尔的多项式，其作为自同态映射代表融合矩阵。
• 定义一个特征基——贝特向量——其在融合代数中作为幂等元发挥作用。

提出的方法

• 将顶点模型的转移矩阵与杨-巴克斯方程的解联系起来，确立可积性。
• 将转移矩阵识别为非交换字母表中无穷组多项式的生成函数。
• 非交换字母表对应于局部仿射普拉克代数的生成元，该代数是罗宾逊-申斯特定理中普拉克代数的推广。
• 在该非交换设定中定义类似施尔的多项式，并将其映射到可积模型状态空间上的自同态。
• 构造贝特向量作为转移矩阵的特征基，证明其在融合代数中为幂等元。
• 通过在贝特向量基下表示这些自同态的矩阵元提取融合系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖卡克斯-沃尔顿公式的情况下计算 su(n) WZNW 融合环中的融合系数？
• RQ2 可积统计模型在实现融合环结构中扮演什么角色？
• RQ3 局部仿射普拉克代数中的非交换多项式如何与融合矩阵相关联？
• RQ4 能否构造一个作为融合代数中幂等元的贝特向量特征基？
• RQ5 杨-巴克斯方程与融合系数的组合结构之间存在何种联系？

主要发现

• 融合系数由满足杨-巴克斯方程的转移矩阵生成，证实了该模型的可积性。
• 转移矩阵被表达为源自局部仿射普拉克代数的非交换字母表中多项式的生成函数。
• 在此非交换设定中，类似施尔的多项式在作为状态空间上自同态实现时，恰好对应于融合矩阵。
• 贝特向量构成转移矩阵的完整特征基，并被识别为融合代数的幂等元。
• 该算法提供了一种新颖的、组合学的方法来计算融合系数，与卡克斯-沃尔顿公式不同。
• 该构造在可积模型、非交换代数与仿射李代数的表示理论之间建立了直接联系。