[论文解读] The su(n) WZNW fusion ring as integrable model: a new algorithm to compute fusion coefficients

Christian Korff|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新算法，通过可积顶点模型与贝特 ansatz，计算 $ˇ{\mathfrak{su}}(n)_k$ WZNW 融合环中的融合系数。通过将统计模型的转移矩阵与仿射普拉克代数中非交换多项式的生成函数相联系，作者将融合系数表示为半单交换环的结构常数，提供了一种非卡斯-沃尔顿公式的新方法。

ABSTRACT

This is a proceedings article reviewing a recent combinatorial construction of the su(n) WZNW fusion ring by C. Stroppel and the author. It contains one novel aspect: the explicit derivation of an algorithm for the computation of fusion coefficients different from the Kac-Walton formula. The discussion is presented from the point of view of a vertex model in statistical mechanics whose partition function generates the fusion coefficients. The statistical model can be shown to be integrable by linking its transfer matrix to a particular solution of the Yang-Baxter equation. This transfer matrix can be identified with the generating function of an (infinite) set of polynomials in a noncommutative alphabet: the generators of the local affine plactic algebra. The latter is a generalisation of the plactic algebra occurring in the context of the Robinson-Schensted correspondence. One can define analogues of Schur polynomials in this noncommutative alphabet which become identical to the fusion matrices when represented as endomorphisms over the state space of the integrable model. Crucial is the construction of an eigenbasis, the Bethe vectors, which are the idempotents of the fusion algebra.

研究动机与目标

• 开发一种计算 $ˇ{\mathfrak{su}}(n)_k$ WZNW 融合环中融合系数的新计算方法。
• 通过杨-巴克斯方程，建立可积统计力学模型与融合环结构之间的联系。
• 通过非交换对称函数，提供一种计算融合系数的非卡斯-沃尔顿公式替代方法。
• 证明融合环是多项式环关于贝特 ansatz 方程的诺特理想（nullstellensatz 理想）的商环。
• 证明转移矩阵的本征基（贝特矢量）对应于融合代数的幂等元。

提出的方法

• 构建一个统计力学中的顶点模型，其配分函数生成融合系数。
• 通过将转移矩阵与杨-巴克斯方程的解联系起来，证明其可积性。
• 通过仿射普拉克代数，将转移矩阵表示为非交换字母表中多项式的生成函数。
• 在此非交换设定中定义类比于施尔多项式的对象，当作为态空间上的自同态表示时，这些对象即成为融合矩阵。
• 应用代数贝特 ansatz 对角化转移矩阵，构造一个本征基（贝特矢量），该基作为融合代数的幂等元。
• 将融合环识别为初等对称函数多项式环关于贝特 ansatz 方程的诺特理想（nullstellensatz 理想）的商环。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖卡斯-沃尔顿公式，通过可积模型计算 $ˇ{\mathfrak{su}}(n)_k$ 融合环中的融合系数？
• RQ2 仿射普拉克代数的结构如何与 WZNW 模型的融合规则相关联？
• RQ3 转移矩阵的贝特 ansatz 本征基能否被解释为融合代数的幂等基？
• RQ4 从对称函数与诺特理想的角度，融合系数的代数根源是什么？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他量子群与可积模型？

主要发现

• 融合系数被导出为由可积顶点模型的转移矩阵生成的半单交换环的结构常数。
• 证明转移矩阵是非交换仿射普拉克代数中多项式的生成函数，该代数推广了罗宾森-申斯特定理的普拉克代数。
• 在非交换字母表中定义的仿射普拉克施尔多项式，当作为态空间上的自同态表示时，即成为融合矩阵。
• 贝特矢量——即贝特 ansatz 方程的解——构成转移矩阵的本征基，并被识别为融合代数的幂等元。
• 融合环同构于商环 $ \mathbb{C}[e_1,\dots,e_k]/\mathcal{I}(\mathbb{V}) $，其中 $ \mathcal{I}(\mathbb{V}) $ 是贝特 ansatz 簇的诺特理想。
• 该方法提供了一种新的、非卡斯-沃尔顿公式的算法来计算融合系数，即使在未显式求解贝特 ansatz 方程的情况下也有效。