[论文解读] The sub-$k$-domination number of a graph with applications to $k$-domination

David Amos, John Asplund+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了子-k-支配数，这是基于图的度序列导出的k-支配数的计算高效下界。证明该下界是紧确的，并优于现有下界，同时刻画了在顶点/边操作下的临界图，并确定了子-k-支配数与k-支配数相等的条件。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study a new graph invariant derived from the degree sequence of a graph $G$, called the sub-$k$-domination number and denoted $sub_k(G)$. We show that $sub_k(G)$ is a computationally efficient sharp lower bound on the $k$-domination number of $G$, and improves on several known lower bounds. We also characterize the sub-$k$-domination numbers of several families of graphs, provide structural results on sub-$k$-domination, and explore properties of graphs which are $sub_k(G)$-critical with respect to addition and deletion of vertices and edges.

研究动机与目标

• 基于度序列定义并分析一种新的图不变量，即子-k-支配数。
• 建立该不变量作为k-支配数的计算高效且紧确下界的性质。
• 将子-k-支配数与现有下界进行比较，并在多种情况下证明其优越性。
• 刻画在子-k-支配参数下，对顶点/边增加或删除操作具有临界性的图的结构特性。
• 确定子-k-支配数等于k-支配数的条件。

提出的方法

• 将子-k-支配数定义为 $\mathrm{sub}_k(G) = \min\left\{t : t + \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{t} d_i \geq n\right\}$，其中 $d_i$ 为按非递增顺序排列的度数。
• 证明 $\mathrm{sub}_k(G) \leq \gamma_k(G)$，表明其为k-支配数的有效下界。
• 利用度序列分析与极值图论，推导子-k-支配数临界图在顶点与边操作下的结构特性。
• 通过闭式表达式，刻画特定图族（包括完全图、星图和路径图）的 $\mathrm{sub}_k(G)$。
• 分析子-k-支配数在边增加、删除及顶点移除下的行为，建立单调性与临界性条件。
• 通过识别满足 $\mathrm{sub}_k(G) = \gamma_k(G)$ 的图，证明 $\mathrm{sub}_k(G)$ 的紧确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些图族中，$\mathrm{sub}_k(G)$ 等于 $\gamma_k(G)$？
• RQ2 子-k-支配数与已知的k-支配数下界相比如何？
• RQ3 在边或顶点操作下，子-k-支配数临界图的结构特性是什么？
• RQ4 在何种条件下，子-k-支配数在边增加或删除后保持不变或恰好改变1？
• RQ5 子-k-支配数能否用于推导更紧的界或计算 $\gamma_k(G)$ 的算法？

主要发现

• 子-k-支配数是k-支配数的紧确下界，且在某些图族（如完全图和特定树）中等式成立。
• 由于其基于度序列的更紧密构造，子-k-支配数优于多个已知下界，包括源自余数和湮灭数的下界。
• 对于 $\mathrm{sub}_k(G)$-ED-临界图，边删除使子-k-支配数恰好增加1，且此类图无孤立顶点，并满足特定度约束。
• 在 $\mathrm{sub}_k(G)$-EA-临界图中，边增加使子-k-支配数恰好减少1，且度数小于 $d_t$ 的顶点构成一个团。
• 在 $\mathrm{sub}_k(G)$-VD-临界图中，前 $t$ 个顶点之外的每个顶点必须至少与前 $t$ 个顶点中的 $k+1$ 个相邻，以确保该下界对顶点删除的敏感性。
• 子-k-支配数计算高效，仅需度序列，因此适用于大规模图分析。