[论文解读] The sum-capture problem for abelian groups

John Steinberger|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文在有限阿贝尔群 G 的大小为 |G|^α 的随机子集 A 上，建立了和捕获函数 μ(A) 的紧致上界，表明以高概率有 μ(A) ≤ |A|³/|G| + 4|A|^{3/2}√(ln|G|)。该结果通过阿贝尔群中随机集的傅里叶分析与集中不等式，证实了 Mennink 和 Preneel 关于 α ≤ 2/3 时 μ(A) 行为的猜想的后半部分。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite abelian group, let $0 < α< 1$, and let $A \subseteq G$ be a random set of size $|G|^α$. We let $$ μ(A) = \max_{B,C:|B|=|C|=|A|}|\{(a,b,c) \in A imes B imes C : a = b + c \}|. $$ The issue is to determine upper bounds on $μ(A)$ that hold with high probability over the random choice of $A$. Mennink and Preneel \cite{BM} conjecture that $μ(A)$ should be close to $|A|$ (up to possible logarithmic factors in $|G|$) for $α\leq 1/2$ and that $μ(A)$ should not much exceed $|A|^{3/2}$ for $α\leq 2/3$. We prove the second half of this conjecture by showing that $$ μ(A) \leq |A|^3/|G| + 4|A|^{3/2}\ln(|G|)^{1/2} $$ with high probability, for all $0 < α< 1$. We note that $3α- 1 \leq (3/2)α$ for $α\leq 2/3$. In previous work, Alon et al$.$ have shown that $μ(A) \leq O(1)|A|^3/|G|$ with high probability for $α\geq 2/3$ while Kiltz, Pietrzak and Szegedy show that $μ(A) \leq |A|^{1 + 2α}$ with high probability for $α\leq 1/4$. Current bounds on $μ(A)$ are essentially sharp for the range $2/3 \leq α\leq 1$. Finding better bounds remains an open problem for the range $0 < α< 2/3$ and especially for the range $1/4 < α< 2/3$ in which the bound of Kiltz et al$.$ doesn't improve on the bound given in this paper (even if that bound applied). Moreover the conjecture of Mennink and Preneel for $α\leq 1/2$ remains open.

研究动机与目标

• 确定随机子集 A ⊆ G 且 |A| = |G|^α 时，和捕获函数 μ(A) = max_{|B|=|C|=|A|} |{(a,b,c) ∈ A×B×C : a = b+c}| 的高概率上界。
• 解决 Mennink 和 Preneel 的猜想的后半部分，即当 α ≤ 2/3 时，μ(A) 以高概率为 O(|A|^{3/2})。
• 在 1/4 < α < 2/3 范围内改进现有结果，此前的结果无法超越新界。
• 为凯莱图提供一个伪随机性结果，表明两组随机大小集合之间的边数不会显著大于预期。

提出的方法

• 在群 G = ℤ₂ⁿ 上使用傅里叶分析，将方程 a = b + c 的解数表示为傅里叶系数之和：|{(a,b,c) : a=b+c}| = |G|² ∑_{S⊆[n]}  ŵ_A(S)ŵ_B(S)ŵ_C(S)。
• 应用 Hayes（2006）关于随机子集 A 的最大非主傅里叶系数的结果，表明以高概率对所有 S ≠ ∅ 有 |ŵ_A(S)| ≤ (4/|G|)√(ln|G| ⋅ |A|)。
• 使用柯西-施瓦茨不等式对傅里叶系数乘积之和进行界定：∑_{S≠∅} |ŵ_A(S)ŵ_B(S)ŵ_C(S)| ≤ (1/|G|)√(|B||C|) ⋅ max_S |ŵ_A(S)|。
• 将傅里叶系数的界与柯西-施瓦茨估计结合，推导出主要不等式：μ(A,B,C) ≤ |A||B||C|/|G| + 4√(ln|G| ⋅ |A||B||C|)。
• 将该界扩展至所有大小为 |A| 的 B,C 的最大值，得出以高概率有 μ(A) ≤ |A|³/|G| + 4|A|^{3/2}√(ln|G|)。
• 从随机凯莱图的角度解释结果，表明两组大小为 |A| 的集合之间的边数不会显著大于均匀随机情况下的预期值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限阿贝尔群中，对于大小为 |G|^α 的随机子集 A ⊆ G，和捕获函数 μ(A) 的最佳可能高概率上界是什么？
• RQ2 Mennink 和 Preneel 的猜想是否成立，即当 α ≤ 2/3 时，μ(A) 以高概率为 O(|A|^{3/2})？
• RQ3 在 1/4 < α < 2/3 范围内，μ(A) 的界是否可以改进，此前的界在此范围内表现不佳？
• RQ4 随机子集 A 的结构如何影响阿贝尔群中 a = b + c 的解数？
• RQ5 如猜想所述，μ(A) ≈ max(|A|, |A|³/|G|) 的界是否在对数因子范围内是紧致的？

主要发现

• 本文证明，以高概率对随机选择的 A ⊆ G 且 |A| = |G|^α，有 μ(A) ≤ |A|³/|G| + 4|A|^{3/2}√(ln|G|)，其中 0 < α < 1。
• 该界在最优意义下成立，因为它与 A、B、C 均为均匀随机时的期望解数一致，且当 α < 2/3 时第二项占主导。
• 该结果证实了 Mennink-Preneel 猜想的后半部分，表明当 α ≤ 2/3 时，μ(A) 以高概率为 O(|A|^{3/2})。
• 该界在 1/4 < α < 2/3 范围内优于先前结果，此前 Kiltz 等人的界（|A|^{1+2α}）无法超越新界。
• 该结果意味着当 |A||B|² ≥ |G|² 时，a = b + c 的最大解数不会显著大于期望值，从而确立了伪随机性性质。
• 第二项中的常数 4 可替换为 2√2 + h（h > 0 任意），表明该界几乎紧致。