[论文解读] The sum of a maximal monotone operator of type (FPV) and a maximal monotone operator with full domain is maximal monotone

Liangjin Yao|arXiv (Cornell University)|May 13, 2010

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用 3

一句话总结

本论文在较宽松的条件下建立了巴拿赫空间中两个极大单调算子之和的极大单调性：其中一个算子为 (FPV) 型，另一个具有全定义域。通过Fitzpatrick函数和约束条件，作者证明当 $ \operatorname{dom}A \cap \operatorname{int}\operatorname{dom}B \neq \varnothing $，$ A + N_{\overline{\operatorname{dom}B}} $ 为 (FPV) 型，且 $ \operatorname{dom}A \cap \overline{\operatorname{dom}B} \subseteq \operatorname{dom}B $ 时，$ A + B $ 是极大单调的。

ABSTRACT

The most important open problem in Monotone Operator Theory concerns the maximal monotonicity of the sum of two maximal monotone operators provided that Rockafellar's constraint qualification holds. In this paper, we prove the maximal monotonicity of $A+B$ provided that $A$ and $B$ are maximal monotone operators such that $\dom A\cap\inte\dom B eq\varnothing$, $A+N_{\overline{\dom B}}$ is of type (FPV), and $\dom A\cap\overline{\dom B}\subseteq\dom B$. The proof utilizes the Fitzpatrick function in an essential way.

研究动机与目标

• 解决单调算子理论中关于非自反巴拿赫空间中两个极大单调算子之和的极大单调性这一开放问题。
• 通过弱化标准Rockafellar约束条件，将和定理推广至非自反空间。
• 提供一个统一且推广先前关于次微分、法锥和线性关系之和结果的一般性框架。
• 建立 $ A + B $ 在 $ A $ 不一定是次微分或法锥算子时仍保持极大单调性的条件。
• 使用Fitzpatrick函数作为核心工具，分析在缺乏自反性条件下的单调性性质。

提出的方法

• 利用Fitzpatrick函数刻画极大单调性，并分析和算子中的单调性关系。
• 使用约束条件 $ \operatorname{dom}A \cap \operatorname{int}\operatorname{dom}B \neq \varnothing $ 确保扰动论证中存在内点。
• 应用 (FPV) 型算子的概念，该类算子推广了次微分和法锥，以控制 $ A $ 在 $ B $ 定义域附近的行为。
• 利用条件 $ \operatorname{dom}A \cap \overline{\operatorname{dom}B} \subseteq \operatorname{dom}B $ 确保定义域交互不引入不连续性。
• 利用 $ A + N_{\overline{\operatorname{dom}B}} $ 为 (FPV) 型的事实，将单调性保持性扩展至和 $ A + B $。
• 利用关于次微分和法锥的已知结果作为特例，以验证该一般性框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自反巴拿赫空间中，两个极大单调算子之和 $ A + B $ 在何种条件下是极大单调的？
• RQ2 和定理是否可以推广至一个为 (FPV) 型、另一个具有全定义域的算子？
• RQ3 条件 $ \operatorname{dom}A \cap \overline{\operatorname{dom}B} \subseteq \operatorname{dom}B $ 是否能确保和中极大单调性的保持？
• RQ4 Fitzpatrick函数是否能有效用于在缺乏自反性时证明和的极大单调性？
• RQ5 关于次微分、法锥和线性关系的已知结果如何融入这一广义框架？

主要发现

• 若 $ A $ 是 (FPV) 型的极大单调算子，$ B $ 是具有全定义域的极大单调算子，且 $ \operatorname{dom}A \cap \operatorname{int}\operatorname{dom}B \neq \varnothing $，则和 $ A + B $ 是极大单调的。
• 条件 $ A + N_{\overline{\operatorname{dom}B}} $ 为 (FPV) 型可确保 $ A $ 与 $ \operatorname{dom}B $ 的闭包之间的相互作用保持单调性。
• 该结果推广了Verona与Verona关于次微分与全定义域算子的结果，以及Voisei关于 (FPV) 型算子与法锥的结果。
• 对于线性关系 $ A $ 和全定义域的极大单调算子 $ B $，和定理依然成立，从而推广了Heisler的结果。
• $ L^1[0,1] $ 中的例子表明，$ A + J $（其中 $ A $ 是极大单调线性关系，$ J $ 是对偶映射）是极大单调的——这一结果无法由先前定理推出。
• 该框架包含了 $ B $ 为具有可能非闭定义域的正规、下半连续、凸函数的次微分的情形，从而推广了早期结果。