[论文解读] The sum of the r'th roots of first n natural numbers and new formula for factorial

Snehal M. Shekatkar|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 6

一句话总结

本文将拉马努金关于前 n 个自然数平方根之和的公式推广至任意实数 r > 1 的 r 次根，利用黎曼积分与误差修正项。推导出一种形式上类似于斯特林公式的阶乘近似公式，其修正项在数值上收敛于 √(2π)，从而为斯特林常数提供了新颖的解析推导。

ABSTRACT

Using the simple properties of Riemman integrable functions, Ramanujan's formula for sum of the square roots of first n natural numbers has been generalized to include r'th roots where r is any real number greater than 1.As an application we derive formula that gives factorial of positive integer $n$ similar to Stirling's formula.

研究动机与目标

• 将拉马努金关于平方根之和的公式推广至任意实数 r > 1 的 r 次根。
• 利用黎曼积分与误差界，推导出 ∑_{x=1}^n x^{1/r} 的闭式近似。
• 将所推导的求和公式应用于获得一种新的 n! 解析表达式，其形式与斯特林公式相似。
• 研究修正项 φ_n(r) 及其导数在 r → ∞ 时的行为，将其与斯特林常数 √(2π) 联系起来。

提出的方法

• 在区间 [0, n] 上使用均匀划分 P = {0, 1, 2, ..., n} 的黎曼积分，近似计算 ∫₀ⁿ x^{1/r} dx。
• 将求和 ∑_{x=1}^n x^{1/r} 表示为下 Darboux 和与上 Darboux 和的平均值加上一个修正项 φ_n(r)，其取值范围在 0 到 1/2 之间。
• 推导出关键恒等式：∑_{x=1}^n x^{1/r} = (r/(r+1))(n+1)^{(r+1)/r} - (1/2)(n+1)^{1/r} - φ_n(r)。
• 对上述恒等式关于 r 求导，得到包含 ∑ x^{1/r} log x 的公式，从而实现阶乘的推导。
• 取 r → ∞ 的极限，恢复 log(n!)，并证明剩余修正项收敛于有限值 ξ。
• 利用 r² dφ/dr 在 r → ∞ 时的极限，推导出 n! ≈ (n+1)^{n+1/2} e^{-n-1} e^ξ，其中 e^ξ ≈ √(2π)。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉马努金关于平方根之和的公式能否推广至任意实数 r > 1 的 r 次根？
• RQ2 求和近似中的修正项 φ_n(r) 的函数形式为何？其有界性如何？
• RQ3 当 r → ∞ 时，修正项 φ_n(r) 的导数行为如何？其揭示了阶乘常数的何种信息？
• RQ4 所推导的 n! 公式是否收敛至与斯特林近似一致的形式？修正因子的值是多少？
• RQ5 在 r = 1 时，dφ/dr 的意义为何？其如何影响乘积 1¹·2²·...·nⁿ？

主要发现

• 求和 ∑_{x=1}^n x^{1/r} 的近似式为 (r/(r+1))(n+1)^{(r+1)/r} - (1/2)(n+1)^{1/r} - φ_n(r)，其中 φ_n(r) 的取值范围在 [0, 1/2] 之间。
• 当 r → ∞ 时，修正项 φ_n(r) 趋近于 1/2，与求和收敛于 n 的事实一致。
• 对求和恒等式关于 r 求导，可得包含 ∑ x^{1/r} log x 的公式，从而导出阶乘表达式。
• 在 r → ∞ 的极限下，剩余修正项 ξ 满足 log(n!) ≈ (n + 1/2)log(n+1) - (n+1) + ξ，且 e^ξ ≈ √(2π)。
• 所推导的阶乘公式为 n! ≈ (n+1)^{n+1/2} e^{-n-1} e^ξ，与精确的斯特林公式极为相似。
• 在 r = 1 时，导数 dφ/dr 的数值极小且可忽略，从而验证了对乘积 1¹·2²·...·nⁿ 的公式的正确性。