[论文解读] The Sum of Two Unbounded Linear Operators: Closedness, Self-adjointness and Normality

Mohammed Hichem Mortad|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文確立了兩種無界正规算子的和與積仍為閉、自伴或正规算子的新條件，引入了一個無界版本的Fuglede定理。主要貢獻在於證明：若兩個無界可逆正规算子可交換且滿足特定定義域包含關係，則它們的和為正规算子，其積亦為正规算子，從而將經典結果推廣至無界設置，並提升了普遍性。

ABSTRACT

In the present paper we give results on the closedness and the self-adjointness of the sum of two unbounded operators. We present a new approach to these fundamental questions in operator theory. We also prove a new version of the Fuglede theorem where the operators involved are all unbounded. This new Fuglede theorem allows us to prove (under extra conditions) that the sum of two unbounded normal operators remains normal. Also a result on the normality of the unbounded product of two normal operators is obtained as a consequence of this new "Fuglede theorem". Some interesting examples are also given.

研究动机与目标

• 解決文獻中尚未完全解決的根本問題：兩無界正规算子的和何時仍為正规算子。
• 將經典Fuglede定理推廣至無界算子，從而得出關於算子和與積的正规性之新結果。
• 消除先前關於無界正规算子積的正规性結果中多餘的定義域條件。
• 提供一個系統性的框架，用於分析無界算子和與積的閉性、自伴性與正规性。
• 透過反例展示，在無界算子理論中假設逆算子全域定義且有界的重要性，說明若無此條件，結果可能失效。

提出的方法

• 提出無界正规算子的新Fuglede定理版本，證明若 $AB = BA$ 且 $A$, $B$ 可逆且正规，則 $AB^* = B^*A$ 與 $BA^* = A^*B$。
• 利用條件：$A$ 可逆、$B$ 閉、$D(BA^{-1}) \subset D(A)$，證明 $A + B$ 的閉性，藉由 $I + BA^{-1}$ 的閉性與乘積 $A(I + BA^{-1})$ 的閉性。
• 應用引理3，其陳述為：若 $A$ 可逆且其逆有界，則 $(BA)^* = A^*B^*$，此為伴隨運算的關鍵。
• 使用定義域包含關係如 $D(A) \subset D(BA^*)$ 與 $D(AB^{-1}) = D(A(B^*)^{-1}) \subset D(B)$，以確保伴隨與乘積運算的有效性。
• 利用 $A + B$ 為閉算子的性質：若 $A$ 閉且 $B$ 有界，此性質在無界設置中透過可逆性與定義域控制加以推廣。
• 應用Devinatz-Nussbaum定理，表明若兩個可交換的正规算子其積亦為正规算子，則它們必強交換，從而將結果連結至更深層的譜理論。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，兩無界正规算子的和為正规算子？
• RQ2 經典Fuglede定理能否推廣至無界正规算子？所需條件為何？
• RQ3 若兩無界正规算子可交換，其積是否仍為正规算子？能否弱化定義域假設？
• RQ4 假設逆算子全域有界對算子和與積的正规性與閉性有何影響？
• RQ5 定義域包含關係如 $D(BA^{-1}) \subset D(A)$ 在確保 $A + B$ 的閉性中扮演何種角色？

主要发现

• 若 $AB = BA$、$D(A) \subset D(BA^*)$、$D(AB^{-1}) = D(A(B^*)^{-1}) \subset D(B)$，則兩無界可逆正规算子的和 $A + B$ 為正规算子，且依定理2其和為閉算子。
• 證明了一個新的Fuglede型定理：若 $A$ 與 $B$ 為無界可逆正规算子且 $AB = BA$，則 $AB^* = B^*A$ 與 $BA^* = A^*B$，此為證明和的正规性之關鍵。
• 兩無界可逆正规算子的積 $AB$ 為正规算子，僅需 $AB = BA$，即使無需 $D(A), D(B) \subset D(BA)$，此結果優於先前文獻[22]之結果。
• 透過鏈式等式 $(AB)^*AB = (AB)(AB)^*$ 證明 $AB$ 為正规算子，利用引理3中的 $(AB)^* = B^*A^*$ 及新Fuglede定理下的交換性。
• 提供一反例，顯示若無可逆性，即使 $A$ 與 $B$ 為正规且可交換，其積 $AB$ 仍可能非閉或非正规。
• 本文示範，全域有界逆的假設至關重要：若無此條件，關鍵結果如 $(BA)^* = A^*B^*$ 可能失效，如單邊移位算子反例所示。