[论文解读] The summatory function of the Möbius function in function fields

Byungchul Cha|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了Ng关于Mertens函数增长的猜想在函数域中的类比，推导出有限域上曲线除数上Möbius函数求和函数的界。在zeta函数零点线性无关性假设下，该界变得精确，且该界在全系超椭圆曲线族上的几何平均值渐近匹配随机酉辛矩阵特征多项式各次幂的期望值。

ABSTRACT

We study the growth rate of the summatory function of the Möbius function in the context of an algebraic curve over a finite field. Our work shows a strong resemblance to its number field counterpart, which was proved by Ng in 2004. We find an expression for a bound of the summatory function, which becomes sharp when the zeta zeros of the curve satisfy a certain linear independence property. Extending a result of Kowalski in 2008, we prove that most curves in the family of universal hyperelliptic curves satisfy this property. Then, we consider a certain geometric average of such bound in this family, using Katz and Sarnak's reformulation of the equidistribution theorem of Deligne. Lastly, we study an asymptotic behavior of this average as the family gets larger by evaluating the average values of powers of characteristic polynomials of random unitary symplectic matrices.

研究动机与目标

• 开发Ng关于Mertens函数 $ M(x) $ 增长的函数域类比概率猜想。
• 分析有限域上曲线有效除数上Möbius函数的求和函数 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) $。
• 在zeta函数零点的线性无关性（LI）性质下，建立 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) $ 的精确界。
• 利用Katz与Sarnak的等分布定理，计算该界在全系超椭圆曲线族上的几何平均值。
• 将该平均值的渐近行为与随机酉辛矩阵特征多项式的各次幂的期望值联系起来。

提出的方法

• 在有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上曲线 $ C $ 的有效除数 $ D $ 上定义Möbius函数 $ \mu_{C/\mathbb{F}_q}(D) $，推广数域中的Möbius函数。
• 引入求和函数 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) = \sum_{\deg D \leq X} \mu_{C/\mathbb{F}_q}(D) $，并推导渐近界 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) = O(X^{r-1} q^{X/2}) $，其中 $ r $ 为逆zeta函数零点的最大阶数。
• 定义量 $ B(C/\mathbb{F}_q) = \limsup_{X\to\infty} \frac{M_{C/\mathbb{F}_q}(X)}{q^{(X+1)/2}} $，当所有逆零点均为单重时该量有限。
• 引入线性无关性（LI）性质：zeta函数零点的幅角 $ \theta_j $（其中 $ \gamma_j = \sqrt{q} e^{i\theta_j} $）在 $ \mathbb{Q} $ 上线性无关，包括 $ \pi $。
• 利用Katz与Sarnak对Deligne等分布定理的重新表述，研究该界在曲线族上的几何平均值。
• 通过计算随机 $ U \in \mathrm{USp}(2N,\mathbb{C}) $ 的 $ |\mathcal{Z}_U(\theta)| $ 的期望值，利用Weyl积分公式和Deift-Its-Krasovsky渐近分析，评估该平均值的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数域中除数上Möbius函数求和函数的精确界是什么？在何种条件下达到？
• RQ2 zeta函数零点的线性无关性如何影响函数域中Möbius求和函数的增长率？
• RQ3 全系超椭圆曲线族上界 $ B(C/\mathbb{F}_q) $ 的几何平均值是什么？
• RQ4 该几何平均值与随机酉辛矩阵特征多项式各次幂的期望值有何关系？
• RQ5 能否使用随机矩阵理论计算该平均值的渐近行为？其主导项是什么？

主要发现

• 当曲线满足线性无关性条件时，界 $ D(C/\mathbb{F}_q) = \frac{1}{q^{1/2}} \sum_{\gamma} \left| \frac{\gamma}{Z_\gamma} \right| $ 变得精确。
• 将Kowalski的结果推广，表明全系超椭圆曲线族中的大多数曲线满足线性无关性条件。
• $ B(C/\mathbb{F}_q) $ 的几何平均值渐近等价于 $ \mathrm{USp}(2N,\mathbb{C}) $ 上 $ |\mathcal{Z}_U(\theta)| $ 的期望值 $ \mathcal{I}(N) $。
• $ \mathcal{I}(N) $ 的渐近表达式为 $ \sqrt{2} G(\frac{1}{2})^2 N^{1/4} \int_0^\pi (\sin\theta)^{1/4} (1 + o(1)) \, d\theta $，当 $ N \to \infty $ 时成立。
• 渐近公式中的误差项在 $ \theta $ 上不一致收敛，表明需更精细分析以证明积分中极限可交换。
• 该几何平均值的主导渐近行为被证明为 $ \sim C N^{1/4} $，其中 $ C $ 为包含Barnes G-函数的常数。