[论文解读] The sums of Rogers, Schur and Ramanujan and the Bose-Fermi correspondence in $1+1$-dimensional quantum field theory

Rinat Kedem, Barry M. McCoy+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 1993

Graph theory and applications参考文献 6被引用 29

一句话总结

本文建立了1+1维量子场论中罗杰斯-拉马努金型费米子求和表示与自旋统计对应关系之间的深刻联系。它表明，费米子特征和——作为罗杰斯、舒尔与拉马努金恒等式的推广——描述了无质量共形场论的谱，明确关联到仿射李代数表示与分支函数，揭示了统计力学与1+1维量子场论背后的统一结构。

ABSTRACT

We discuss the relation of the two types of sums in the Rogers-Schur-Ramanujan identities with the Bose-Fermi correspondence of massless quantum field theory in $1+1$ dimensions. One type, which generalizes to sums which appear in the Weyl-Kac character formula for representations of affine Lie algebras and in expressions for their branching functions, is related to bosonic descriptions of the spectrum of the field theory (associated with the Feigin-Fuchs construction in conformal field theory). Fermionic descriptions of the same spectrum are obtained via generalizations of the other type of sums. We here summarize recent results for such fermionic sum representations of characters and branching functions. (To appear in C.N. Yang's 70th birthday Festschrift.)

研究动机与目标

• 通过自旋统计对应关系，为共形场论特征的费米子求和表示提供物理诠释。
• 将数学结构——罗杰斯-舒尔-拉马努金恒等式、模形式及仿射李代数表示——与1+1维物理量子场论相联系。
• 证明费米子求和表示的特征与分支函数自然出现在可积模型与共形场论中。
• 表明这些费米子求和对应于具有排除规则的准粒子激发，类似于自旋子与任意子。
• 统一数学结果（模不变性、特征公式）与物理模型（伊辛模型、大质量扩展、RSOS模型）。

提出的方法

• 采用仿射李代数表示的费米子求和形式表示罗杰斯-拉马努金恒等式。
• 在1+1维量子场论中应用自旋统计对应关系，将玻色子特征公式（通过费金-富克斯构造）映射为费米子求和形式。
• 在仿射李代数背景下，应用威伊-卡克特征公式及其在分支函数中的推广。
• 利用模变换性质（模S矩阵）推导特征在τ → −1/τ下的变换规律。
• 分析零磁场与非零磁场下伊辛模型的谱，作为单准粒子与多准粒子费米子表示的实现。
• 应用角转移矩阵技术，将费米子求和与非临界RSOS模型中的序参数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 费米子求和表示的共形场论特征如何与1+1维量子场论中的自旋统计对应关系相关？
• RQ2 当解释为费米子特征和时，罗杰斯-舒尔-拉马努金型恒等式具有何种物理意义？
• RQ3 费米子准粒子表示中的动量排除规则如何对应于自旋子或任意子等物理激发？
• RQ4 由费米子求和导出的特征的模性质如何反映其背后的仿射李代数结构？
• RQ5 相同的数学结构（费米子求和、模不变性）是否同时存在于临界与非临界统计模型中，如伊辛模型与RSOS模型？

主要发现

• 推导出1+1维共形场论中仿射李代数表示的费米子求和表示，推广了罗杰斯-拉马努金恒等式。
• 通过q级数与乘积定义的特征c₀(τ)与c₁(τ)在模群SL(2,Z)作用下表现为二维模表示，具有显式的S矩阵变换。
• 费米子求和形式对应于具有排除规则的准粒子激发，单费米子表示与考夫曼的自由费米子解在伊辛模型的共形极限下一致。
• 八费米子表示与萨莫洛德奇科夫在磁场中临界温度下对伊辛模型的处理相关，表明多准粒子结构具有物理意义。
• 费米子特征公式不仅出现在临界共形场论中，也通过角转移矩阵方法出现在非临界RSOS模型中，显示出其广泛应用性。
• 罗杰斯-拉马努金恒等式及其推广的数学结构被证明可在可积量子场论与统计模型中物理实现，暗示物理与数学之间存在深刻统一。