[论文解读] The Sup Connective in IMALL: A Categorical Semantics

Alejandro Díaz-Caro, Octavio Malherbe|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 4

一句话总结

本文为一种带求和与数乘的直觉线性逻辑的片段 $\mathcal{L}^{\mathcal{S}}$-演算建立了范畴语义，该演算具有语法线性性。研究证明，当在交换幺半环 $\mathcal{S}$ 上的可消去半模范畴中解释时，该演算的语义是正确且充分的，从而将先前基于域的工作推广到了更广泛的代数基础。

ABSTRACT

We explore a proof language for intuitionistic multiplicative additive linear logic, incorporating the sup connective that introduces additive pairs with a probabilistic elimination, and sum and scalar products within the proof-terms. We provide an abstract characterisation of the language, revealing that any symmetric monoidal closed category with biproducts and a monomorphism from the semiring of scalars to the semiring Hom(I,I) is suitable for the job. Leveraging the binary biproducts, we define a weighted codiagonal map which is at the core of the sup connective.

研究动机与目标

• 将 $\mathcal{L}^{\mathcal{S}}$-演算的代数基础从域扩展到交换幺半环。
• 在可消去 $\mathcal{S}$-半模的范畴中为 $\mathcal{L}^{\mathcal{S}}$-演算提供范畴语义。
• 证明该语义对演算而言既正确又充分。
• 阐明建模证明项中语法线性的最小代数结构。
• 为在更一般的代数环境中解释受量子启发的线性逻辑演算奠定基础。

提出的方法

• 将演算扩展为使用交换幺半环 $\mathcal{S}$ 而非域，同时保留求和与数乘的中间规则。
• 在可消去 $\mathcal{S}$-半模的范畴 $\mathbf{SM}_{\mathcal{S}}$ 中定义语义，该范畴支持张量积的闭包。
• 解释将命题映射为 $\mathcal{S}$-半模，将证明映射为它们之间的线性映射。
• 通过在证明项上进行结构归纳，并验证关键图表的交换性，证明语义的正确性与充分性。
• 幺半环 $\mathcal{S}$ 的可消去性质对于张量积与内部同态函子之间的伴随关系至关重要，从而确保范畴闭包。
• 通过使用标准范畴同构 $\lambda$、$\rho$ 和 $\delta$ 来在语义中建模结构规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 建模 $\mathcal{L}^{\mathcal{S}}$-演算的范畴语义所需的最小代数结构是什么？
• RQ2 能否在交换幺半环上为 $\mathcal{L}^{\mathcal{S}}$-演算提供正确且充分的范畴语义？
• RQ3 为何幺半环 $\mathcal{S}$ 的可消去性质对语义的良态性至关重要？
• RQ4 该语义如何处理证明项中求和与数乘的中间规则？
• RQ5 该语义能否支持证明项的线性行为，如 $t(u+v) \equiv tu + tv$ 和 $t(s\bullet u) \equiv s\bullet tu$？

主要发现

• 对于任意交换幺半环 $\mathcal{S}$，$\mathcal{L}^{\mathcal{S}}$-演算在可消去 $\mathcal{S}$-半模范畴中解释时，其语义是正确且充分的。
• 幺半环 $\mathcal{S}$ 的可消去性质是确保张量积与内部同态函子之间伴随关系存在的必要条件，这对范畴闭包至关重要。
• 语义正确地建模了语法线性性：在模型中，$t(u \mathbin{\text{\scalebox{0.7}{\faPlus}}} v) \equiv tu \mathbin{\text{\scalebox{0.7}{\faPlus}}} tv$ 与 $t(s \bullet u) \equiv s \bullet tu$ 成立。
• $\top^n \Rightarrow \top^m$ 的解释恰好对应于线性映射 $\mathcal{S}^n \to \mathcal{S}^m$，且证明项忠实地表示了此类映射。
• 通过范畴中适当图表的交换性，该语义支持了演算的完整线性性，包括合取与析取的行为。
• 结果将先前基于域的工作推广到幺半环，表明语义并不要求域结构，仅需可消去幺半环结构。