[论文解读] The Superalgebraic Approach to Supergravity

Christian R. Preitschopf, M. A. Vasiliev|ArXiv.org|May 20, 1998

Black Holes and Theoretical Physics被引用 18

一句话总结

本文将 D=4 的 N=1 超引力表述为 OSp(1|4) 超代数的规范理论，使用补偿子场，从而实现一种显式超对称且坐标重定义不变的行动，且不包含宇宙学项。该方法将规范对称性与微分同胚对称性分离，揭示出真空代数（庞加莱或 (anti-)de Sitter）独立于规范代数，通过拓扑项分解推导出纯超引力作用量。

ABSTRACT

We formulate classical actions for N=1 supergravity in D=(1,3) as a gauge theory of OSp(1|4). One may choose the action such that it does not include a cosmological term.

研究动机与目标

• 为高维或更高 N 的超引力解决缺乏显式超对称作用量的问题。
• 阐明超引力表述中规范代数与真空代数之间的关系。
• 建立一个将局部对称性与微分同胚分离的超引力规范场论框架。
• 构建一种显式超对称且坐标重定义不变的 D=4 N=1 超引力作用量，且不包含宇宙学常数。
• 通过超代数技术与补偿子场，将 MacDowell-Mansouri 方法推广至超引力。

提出的方法

• 通过满足 $U^M U_M = \mp \rho^2$ 的补偿子场 $U^M$，将引力表述为 SO(2,3) 或 SO(1,4) 的规范理论，通过 $E^M = D U^M$ 定义 tetrad（ tetrad 译为 tetrad 保留）。
• 引入一个在补偿子场下变换协变的洛伦兹连接 $\omega^{MN}_{\mathcal{L}}$，确保 $D_{\mathcal{L}} U^M = 0$。
• 通过洛伦兹项与依赖于补偿子的项之和，构造 OSp(1|4) 规范连接 $\omega^{A}{}_{B}$，包括通过 $\Pi^{(\alpha)}{}_{(\beta)}$ 和 $\Pi^{(\dot{\alpha}}{}_{(\dot{\beta})}$ 的投影。
• 推导出作用量 $S = \frac{i\rho^2}{8\kappa^2} \int \epsilon_{N_1\dots N_5} U^{N_1} R^{N_2 N_3} R^{N_4 N_5}$，该作用量具有 OSp(1|4) 不变性，并编码了超引力动力学。
• 对连接和曲率执行 $SL(2,C)$ 分解，通过投影算符分离玻色子与费米子分量。
• 通过将作用量分解为拓扑项、动能项与宇宙学项，并通过特定项的组合移除后者，提取出纯超引力作用量。

实验结果

研究问题

• RQ1 D=4 的 N=1 超引力能否被表述为 OSp(1|4) 的规范理论，且不引入宇宙学项？
• RQ2 在超引力表述中，如何将规范代数与真空代数解耦？
• RQ3 补偿子场 $U^M$ 在实现 tetrad 与洛伦兹连接的规范协变实现中起什么作用？
• RQ4 能否通过超代数结构与补偿子场，将 MacDowell-Mansouri 方法推广至超引力？
• RQ5 能否构建一种显式超对称且坐标重定义不变的作用量，以避免拓扑项与宇宙学项？

主要发现

• 本文推导出一种显式 OSp(1|4)-不变的 D=4 N=1 超引力作用量，且不包含宇宙学项。
• 作用量 $S = \frac{i\rho^2}{8\kappa^2} \int \epsilon_{N_1\dots N_5} U^{N_1} R^{N_2 N_3} R^{N_4 N_5}$ 具有规范不变性与坐标重定义不变性，且真空解 $R^{MN} = 0$ 在作用量中可直接观察到。
• 通过构造不含宇宙学常数的纯超引力作用量 $S_{\mathcal{E}+3/2} = -\frac{1}{2\kappa^2} \int |e| R(e,\omega) + \frac{1}{2} \int |e| \epsilon^{mnpq} (\bar{\psi}_m{}^{\dot{\alpha}} \bar{\sigma}_n{}_{\dot{\alpha}}{}^\beta D^\mathcal{L}_p \psi_{q\beta} - \psi_m{}^\alpha \sigma_n{}_{\alpha}{}^{\dot{\beta}} D^\mathcal{L}_p \bar{\psi}_{q{\dot{\beta}}})$，其结果与 Chamseddine 和 West 的已知结果一致。
• 补偿子场 $U^M$ 实现了规范连接到洛伦兹与 tetrad 分量的协调分解，其中 $E^M = D U^M$ 且 $D^\mathcal{L} U^M = 0$，确保了规范协变性。
• 在规范固定后，作用量中的拓扑项消失，剩余项给出引力的爱因斯坦-希尔伯特作用量与引力子的作用量。
• 规范代数（OSp(1|4)）与真空代数（庞加莱或 (anti-)de Sitter）相互独立，如在作用量中可独立选择二者所证明。