[论文解读] The superconformal index of $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ and $SO(N_c)$ SYM as a matrix integral

Antonio Amariti, Marco Fazzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文通过矩阵模型方法计算了4d $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ 和 $SO(N_c)$ SYM 理论的超共形指数（SCI），发现在卡迪类似极限下，该指数简化为与3d纯陈-西蒙斯理论在 $S^3$ 上的划分函数等价的矩阵积分。主导鞍点贡献给出了预期的对数修正 $-\log 2$ 和 $\log 4$，分别与规范群的中心对称性相关，且通过广义韦尔特征标公式的确切计算得到验证。

ABSTRACT

We study the superconformal index of 4d $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ and $SO(N_c)$ SYM from a matrix model perspective. We focus on the Cardy-like limit of the index. Both in the symplectic and orthogonal case the index is dominated by a saddle point solution which we identify, reducing the calculation to a matrix integral of a pure Chern-Simons theory on the three-sphere. We further compute the subleading logarithmic corrections, which are of the order of the center of the gauge group. In the $USp(2N_c)$ case we also study other subleading saddles of the matrix integral. Finally we discuss the case of the Leigh-Strassler fixed point with $SU(N_c)$ gauge group, and we compute the entropy of the dual black hole from the Legendre transform of the entropy function.

研究动机与目标

• 通过在 $S^3 \times S^1$ 上的局部化方法，利用矩阵模型方法计算 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ 和 $SO(N_c)$ SYM 理论的超共形指数（SCI）。
• 分析 SCI 的卡迪类似极限，识别主导鞍点配置。
• 计算 SCI 的次领项对数修正，并将其与规范群的中心对称性联系起来。
• 通过 $SO(N_c)$ 和 $USp(2N_c)$ 的广义韦尔特征标公式对矩阵积分结果进行精确验证。
• 将矩阵模型结果与贝特方程方法进行比较，并在大 $N_c$ 极限下确认一致性。

提出的方法

• SCI 表达为规范群的卡坦环面上的矩阵积分，该表达式源自在 $S^3 \times S^1$ 上的局部化。
• 在卡迪类似极限下，矩阵积分由一个主导鞍点配置主导，该配置对应于 $S^3$ 上的 3d 纯陈-西蒙斯理论的划分函数。
• 所识别的陈-西蒙斯理论具有规范群 $USp(2N_c)_{\pm(N_c+1)}$、$SO(2N_c+1)_{\pm(2N_c-1)}$ 和 $SO(2N_c)_{\pm 2(N_c-1)}$，其规范等级由化学势约束确定。
• 应用广义韦尔特征标公式，对 $SO(2N_c+1)$ 和 $SO(2N_c)$ 的 $S^3$ 划分函数进行精确计算，包括区分 $SO$ 与 $O$ 规范群的 $\mathbb{Z}_2$ 因子。
• 从 SCI 的对数在大 $N_c$ 展开中的主导项与次主导项中提取对数修正。
• 通过与已知的贝特方程方法结果比较，并与中心对称性及一形式对称性自发破缺的预期进行交叉验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在卡迪类似极限下，$\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ SYM 的超共形指数如何简化？
• RQ2 对于 $SO(N_c)$ 和 $USp(2N_c)$ 规范群，在主导鞍点区域中，描述 SCI 的矩阵积分的确切形式是什么？
• RQ3 SCI 的次领项对数修正的起源与大小是什么？它们如何与规范群的中心对称性相关？
• RQ4 3d 陈-西蒙斯理论的 $S^3$ 划分函数如何与 4d SCI 的矩阵积分形式相匹配？
• RQ5 在对偶秩趋于零的极限下，为何 $SO(2N_c)$ 的划分函数相比 $O(2N_c)$ 多出一个因子 2？

主要发现

• 在卡迪类似极限下，$\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ 和 $SO(N_c)$ SYM 的超共形指数简化为 3d 纯陈-西蒙斯理论在 $S^3$ 上的划分函数。
• 矩阵积分中的主导鞍点对应于规范等级为 $k = \pm(N_c+1)$ 的陈-西蒙斯理论（$USp(2N_c)$），$k = \pm(2N_c-1)$（$SO(2N_c+1)$），以及 $k = \pm 2(N_c-1)$（$SO(2N_c)$）。
• SCI 的对数修正被确定为：$USp(2N_c)$ 为 $\log 2$，$SO(2N_c)$ 为 $\log 4$，与中心对称性的阶数一致。
• 对 $SO(2N_c+1)_{k}$ 和 $SO(2N_c)_{k}$ 划分函数的精确计算结果为：$Z^{SO(2N_c+1)_{-\eta(2N_c-1)}}_{S^3} = 2\,e^{\frac{5i\pi\eta N_c}{12}(2N_c+1)+i\pi N_c^2}$ 和 $Z^{SO(2N_c)_{-2\eta(N_c-1)}}_{S^3} = 2\,e^{\frac{5i\pi\eta N_c}{12}(2N_c-1)+i\pi(N_c^2-N_c)}$，分别成立。
• 通过广义韦尔特征标公式的直接计算，修正了此前在 $SO(2N_c)$ 划分函数中缺失的因子 2，该因子源于未规范化的 $\mathbb{Z}_2$ 对称性。