[论文解读] The supermarket model with arrival rate tending to one

Graham Brightwell, Malwina Luczak|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 11被引用 14

一句话总结

本文研究重载条件下超市模型的行为，其中到达率 λ(n) → 1 且选择数 d(n) → ∞，当 n → ∞ 时。在适当条件下，证明系统在最大队列长度 k = ⌈log(1−λ)⁻¹ / log d⌉ 时达到平衡，且从良好初始状态出发的混合时间约为 O(kd^{k−1}n log n)，接近最优。

ABSTRACT

In the supermarket model, there are $n$ queues, each with a single server. Customers arrive in a Poisson process with arrival rate $λn$, where $λ= λ(n) \in (0,1)$. Upon arrival, a customer selects $d=d(n)$ servers uniformly at random, and joins the queue of a least-loaded server amongst those chosen. Service times are independent exponentially distributed random variables with mean~1. In this paper, we analyse the behaviour of the supermarket model in a regime where $λ(n)$ tends to~1, and $d(n)$ tends to infinity, as $n o \infty$. For suitable triples $(n,d,λ)$, we identify a subset ${\cal N}$ of the state space where the process remains for a long time in equilibrium. We further show that the process is rapidly mixing when started in ${\cal N}$, and give bounds on the speed of mixing for more general initial conditions.

研究动机与目标

• 理解当到达率 λ(n) 趋近于 1 且选择数 d(n) 满足 n → ∞ 时，超市模型的平衡行为。
• 识别状态空间中的一个子集 𝒩，使得在这些渐近条件下，过程在该集合中长时间保持在平衡状态。
• 建立当初始状态位于 𝒩 中时，马尔可夫链的快速混合，并从一般初始条件出发，对混合时间进行上界估计。
• 证明在平衡状态下，最大队列长度在 k = ⌈log(1−λ)⁻¹ / log d⌉ 附近高度集中，表明负载均衡近乎完美。
• 证明 O(kd^{k−1}n log n) 的混合时间上界本质上是最优的，即使在有利初始状态下也是如此。

提出的方法

• 分析一个具有 n 个队列的离散时间超市模型，顾客以速率 λn 泊松到达，每个顾客有 d 个选择。
• 通过一系列逼近微分方程使用流体极限方法，尽管重点在于平衡和混合行为，而非流体近似的有效性。
• 定义一个良好状态集合 𝒩^ε，使得长度至少为 k 的队列数量在平衡值附近高度集中。
• 应用耦合技术比较从 𝒩^ε 中不同状态出发的两个过程，对它们队列长度向量之间的 L1 距离期望进行上界估计。
• 使用集中不等式和漂移分析，对长队列数量 Q_k 的期望变化进行上界估计，表明其远离平衡状态的速度缓慢。
• 利用文献 [5] 中关于 1-Lipschitz 函数集中性的结果，推导出 Q_k 的尾部界限，从而获得混合时间的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 λ(n) → 1 且 d(n) → ∞ 时，超市模型中队列长度的平衡分布是什么？
• RQ2 在这些渐近条件下，系统以多快的速度混合到平衡状态？
• RQ3 在这些参数设置下，平衡状态中的最大队列长度的精确值是什么？
• RQ4 O(kd^{k−1}n log n) 的混合时间上界是否紧致，还是可以进一步改进？
• RQ5 当系统从一个‘良好’的初始状态（接近平衡）开始时，其行为如何？在最坏初始条件下，它又如何偏离平衡？

主要发现

• 在长时间区间内，平衡状态下最大队列长度以高概率恰好为 k = ⌈log(1−λ)⁻¹ / log d⌉。
• 在平衡状态下，以高概率，大多数队列的长度恰好为 k，且每个更短长度的队列数量可被精确估计。
• 从良好集合 𝒩^ε 中任意初始状态出发，混合时间至多为 O(kd^{k−1}n log n)，且该上界接近最优。
• 混合时间的下界至少为 Ω(n(λd)^{k−1})，表明上界在对数因子内是紧致的。
• 即使从最坏初始状态出发，混合时间仍被限制在 O(kd^{k−1}n log n) 内，且该上界也本质上是最优的。
• 当从 𝒩^ε 中开始时，过程表现出快速混合，总变差距离在 O(kd^{k−1}n log n) 时间后呈指数衰减。