[论文解读] The supersingular locus in Siegel modular varieties with Iwahori level structure

Ulrich Goertz, Chia‐Fu Yu|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文研究了具有 Iwahori 层结构的 Siegel 模形式簇中的超奇异子簇，通过 Kottwitz-Rapoport 分层及其与 Ekedahl-Oort 分层的相互作用，确定了其维数与几何结构。结果表明，当 $g$ 为偶数时，超奇异子簇的维数为 $g^2/2$，其最高维数的不可约分支同构于 $\mathrm{Sp}_{g} \times \mathrm{Sp}_{g}$ 的旗簇；当 $g$ 为奇数时，其分支同构于 $\mathrm{SL}_g$ 的旗簇，且给出了精确的维数界。

ABSTRACT

We study moduli spaces of abelian varieties in positive characteristic, more specifically the moduli space of principally polarized abelian varieties on the one hand, and the analogous space with Iwahori type level structure, on the other hand. We investigate the Ekedahl-Oort stratification on the former, the Kottwitz-Rapoport stratification on the latter, and their relationship. In this way, we obtain structural results about the supersingular locus in the case of Iwahori level structure, for instance a formula for its dimension in case $g$ is even.

研究动机与目标

• 确定具有 Iwahori 层结构的 Siegel 模形式簇中超奇异子簇的维数与几何结构。
• 阐明在此背景下 Kottwitz-Rapoport (KR) 分层与 Ekedahl-Oort (EO) 分层之间的关系。
• 证明所有超奇异 KR 分层均为超特殊，从而为这些分层提供几何刻画。
• 建立 $p$-秩 0 子簇的精确维数公式，并将其用作超奇异子簇的上界。
• 证明当 $g \geq 2$ 时，超奇异子簇并非等维的，并描述其最大维数的不可约分支。

提出的方法

• 分析模形式空间 $\mathcal{A}_I$ 上的 Kottwitz-Rapoport (KR) 分层，该空间参数化具有 Iwahori 层结构的阿贝尔簇。
• 结合 Ngô 与 Genestier 的结果，即 $p$-秩在 KR 分层上为常数，辅以每一分层的 $p$-秩的组合公式。
• 将最大 $p$-秩 0 分层的维数与 $p$-秩 0 子簇的维数联系起来，从而为超奇异子簇提供上界。
• 通过证明其满足与超特殊阿贝尔簇之间 Frobenius 映射同构的几何条件，证明所有超奇异 KR 分层均为超特殊。
• 通过映射 $\mathbf{i}$ 比较 KR 分层与 Ekedahl-Oort 分层，该映射将基本分层的闭包识别为旗簇的闭子概形。
• 利用标识 $\overline{\mathcal{A}}_{t^\mu} \cong \overline{\mathcal{U}}_{w_\emptyset}$ 及分层的相容性，建立 KR 与 EO 分层之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 Iwahori 层结构的阿贝尔簇模形式空间 $\mathcal{A}_I$ 中，超奇异子簇 $\mathcal{S}_I$ 的维数是多少？
• RQ2 在 $\mathcal{A}_I$ 中，超奇异子簇的不可约分支在几何上如何构造，特别是当 $g$ 为偶数与奇数时？
• RQ3 所有超奇异 KR 分层是否必然为超特殊？能否对其进行显式描述？
• RQ4 $\mathcal{A}_I$ 中 $p$-秩 0 子簇的维数是多少？它如何约束超奇异子簇？
• RQ5 Kottwitz-Rapoport 与 Ekedahl-Oort 分层在 $\mathcal{A}_I$ 上如何相互作用？这对超奇异子簇的几何有何含义？

主要发现

• 当 $g$ 为偶数时，超奇异子簇 $\mathcal{S}_I$ 的维数恰好为 $g^2/2$。
• 当 $g$ 为奇数时，$\mathcal{S}_I$ 的维数介于 $g(g-1)/2$ 与 $(g+1)(g-1)/2$ 之间。
• 当 $g$ 为偶数时，$\mathcal{S}_I$ 的每个最高维数不可约分支同构于 $k$ 上的 $\mathrm{Sp}_{g} \times \mathrm{Sp}_{g}$ 的旗簇。
• 当 $g$ 为奇数时，$\mathcal{S}_I$ 的不可约分支同构于 $\mathrm{SL}_g$ 的旗簇，每个的维数为 $g(g-1)/2$。
• 所有超奇异 KR 分层均为超特殊，证实了 [18] 的预印本中的一个猜想。
• $\mathcal{A}_I$ 中 $p$-秩 0 子簇的维数为 $[g^2/2]$，该值为 $\dim \mathcal{S}_I$ 的上界。