[论文解读] The support of singular stochastic PDEs

Martin Hairer, Philipp Schönbauer|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文为由奇异噪声驱动的亚临界奇异随机PDE建立了一个广义的支持定理，通过识别重整化群的一个子群H，解决了重整化过程中的挑战，使得解的支持仅依赖于陪集g◦H。关键结果表明，支持是通过将g◦H中元素重整化后的方程中用光滑函数替换噪声所得到解的闭包；该结果在Φ⁴₃测度的全支持性及与其相关的朗之万动力学的指数遍历性方面具有应用。

ABSTRACT

We obtain a generalisation of the Stroock-Varadhan support theorem for a large class of systems of subcritical singular stochastic PDEs driven by a noise that is either white or approximately self-similar. The main problem that we face is the presence of renormalisation. In particular, it may happen in general that different renormalisation procedures yield solutions with different supports. One of the main steps in our construction is the identification of a subgroup $\mathcal{H}$ of the renormalisation group such that any renormalisation procedure determines a unique coset $g\circ\mathcal{H}$. The support of the solution then only depends on this coset and is obtained by taking the closure of all solutions obtained by replacing the driving noises by smooth functions in the equation that is renormalised by some element of $g\circ\mathcal{H}$. One immediate corollary of our results is that the $Φ^4_3$ measure in finite volume has full support and that the associated Langevin dynamic is exponentially ergodic.

研究动机与目标

• 将斯垂洛克-瓦拉达汉支持定理推广至一大类具有奇异或近似自相似噪声的亚临界奇异随机PDE。
• 解决不同重整化程序可能导致解支持不同的根本性问题。
• 识别重整化群中的一个典范子群H，使得解的支持仅依赖于陪集g◦H。
• 将解的支持表征为通过在重整化方程中用光滑函数替换噪声所得到解的闭包。
• 在有限体积下建立Φ⁴₃测度及其相关朗之万动力学的全支持性与指数遍历性。

提出的方法

• 引入正规化结构框架以处理SPDE中的奇异性。
• 定义重整化群作用，并识别一个正规子群H，使得陪集g◦H决定了解的支持。
• 通过分析树的霍普夫代数中的理想J，建立随机模型的支持定理。
• 利用递归的威纳混沌展开构造一个位移，使其在极限下实现支持。
• 应用不动点论证求解具有光滑噪声的重整化方程，确保收敛至真实解。
• 证明支持在陪集g◦H中代表元的选择下保持不变，从而解决了重整化中的歧义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将斯垂洛克-瓦拉达汉支持定理推广至重整化引入解支持歧义性的奇异SPDE？
• RQ2 重整化群的哪个子群决定了奇异SPDE解的支持？
• RQ3 解的支持能否表征为在重整化方程中用光滑函数替换噪声所得到解的闭包？
• RQ4 有限体积下的Φ⁴₃测度是否具有全支持？其相关朗之万动力学是否指数遍历？
• RQ5 重整化常数之间的约束如何影响解空间及其支持的结构？

主要发现

• 奇异SPDE解的支持仅依赖于重整化群的陪集g◦H，而不依赖于具体的重整化程序。
• 支持被表征为所有通过在由g◦H中元素重整化后的方程中用光滑函数替换噪声所得到解的闭包。
• 有限体积下的Φ⁴₃测度在连续函数的拓扑下具有全支持。
• Φ⁴₃模型的相关朗之万动力学是指数遍历的，这是全支持结果的直接推论。
• 证明了树的霍普夫代数中的理想J为霍普夫理想，这构成了重整化约束代数结构的基础。
• 通过威纳混沌与不动点论证构造的位移确保了解的支持在近似弱收敛下具有鲁棒性。