[论文解读] The "Swiss cheese" cosmological model has no extrinsic curvature discontinuity: A comment on the paper by G.A. Baker, Jr. (astro-ph/0003152)

C. C. Dyer, Chris Oliwa|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文严格证明了‘瑞士奶酪’宇宙学模型——即在球形边界上将史瓦西时空与膨胀的FLRW宇宙匹配——不存在外曲率不连续性。通过使用Darmois匹配条件显式构造匹配过程，作者证明了第一基本形式（内蕴度量）和第二基本形式（外曲率）均保持连续，从而解决了先前研究中提出的不一致问题。

ABSTRACT

Contrary to a claim, the Schwarzschild solution insertion in an expanding universe model, the so called "Swiss cheese" model, does not possess an extrinsic curvature discontinuity. We show that both the intrinsic metric and the extrinsic curvature are continuous, and point out the error that led to the claim.

研究动机与目标

• 解决文献中关于瑞士奶酪宇宙学模型中外曲率不连续性的矛盾主张。
• 严格验证史瓦西时空与FLRW时空在随时间演化的球形边界上的平滑匹配。
• 识别并纠正Baker（2000）分析中的数学错误，该错误导致了关于曲率不连续性的错误主张。
• 确认压力在匹配超曲面上保持连续，从而确保物理一致性。

提出的方法

• 在FLRW坐标系中固定坐标半径的球形超曲面Σ上，显式构造FLRW与史瓦西度量的匹配，该Σ在FLRW中为固定半径，但在史瓦西坐标系中随时间演化。
• 通过验证在Σ上第一基本形式（内蕴度量）和第二基本形式（外曲率）的连续性，应用Darmois匹配条件。
• 利用坐标变换和单位法向量，计算两个参考系中的外曲率，通过第二基本形式的一般形式确保一致性。
• 利用匹配条件推导出T(u)和ρ(u)的时间导数之间的关系，确保度量和曲率分量的连续性。
• 通过证明FLRW区域中的爱因斯坦场方程导出零压强，验证压力连续性，与史瓦西内部一致。
• 识别Baker工作中的错误：错误地应用了简化形式的外曲率公式（式13），该公式假设在史瓦西坐标系中ρ=常数，而这与随时间演化的边界不相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 ‘瑞士奶酪’模型在FLRW与史瓦西时空之间的匹配超曲面上是否表现出外曲率不连续性？
• RQ2 在史瓦西坐标系中，对于随时间演化的球形边界，是否可以满足Darmois匹配条件，同时保持内蕴度量和外曲率的连续性？
• RQ3 当匹配面不是坐标曲面（即ρ≠常数）时，正确的史瓦西坐标系中外曲率计算方法是什么？
• RQ4 Baker（2000）关于曲率不连续性的主张为何失败？其推导中的具体数学错误是什么？
• RQ5 压力在匹配超曲面上是否连续？这是否支持瑞士奶酪模型的物理有效性？

主要发现

• 在球形边界Σ上，内蕴度量（第一基本形式）保持连续，这是通过在条件K²r₀² = ρ²下匹配FLRW与史瓦西线元所确认的。
• 外曲率（第二基本形式）在Σ上保持连续，其中ΩFαβ = ΩSαβ由一般定义导出，而非使用简化公式。
• 压力在Σ上保持连续且为零，这符合Darmois条件，且p = 0由FLRW区域中的爱因斯坦场方程导出。
• Baker（2000）声称的外曲率不连续性源于对简化外曲率公式（式13）的错误应用，该公式假设在史瓦西坐标系中ρ=常数。
• 正确推导表明，该边界在史瓦西坐标系中并非坐标曲面，因此简化公式的使用无效，从而消除了表观矛盾。
• 该模型在物理上是可接受的，因为能量密度μ = 6M/(r₀³|R|³)为正，证实了非真空、物理上有意义的匹配。