[论文解读] The switch Markov chain for sampling irregular graphs

Catherine Greenhill|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 23被引用 25

一句话总结

本文证明了当最小度至少为1且最大度 $ d_{\text{max}} \leq \frac{1}{4}\sqrt{M} $ 时，开关马尔可夫链对不规则度序列是快速混合的，其中 $ M $ 是度数之和。关键贡献是一个改进的多商品流论证，将快速混合的结果从正则图扩展到稀疏不规则图，其混合时间仅比正则情况大一个 $ n $ 阶的量级。

ABSTRACT

The problem of efficiently sampling from a set of(undirected) graphs with a given degree sequence has many applications. One approach to this problem uses a simple Markov chain, which we call the switch chain, to perform the sampling. The switch chain is known to be rapidly mixing for regular degree sequences. We prove that the switch chain is rapidly mixing for any degree sequence with minimum degree at least 1 and with maximum degree $d_{\max}$ which satisfies $3\leq d_{\max}\leq \frac{1}{4}\, \sqrt{M}$, where $M$ is the sum of the degrees. The mixing time bound obtained is only an order of $n$ larger than that established in the regular case, where $n$ is the number of vertices.

研究动机与目标

• 将开关马尔可夫链在正则度序列上的快速混合结果推广到不规则度序列。
• 高效采样给定不规则度序列的简单图所面临的挑战。
• 建立一个仅比正则情况大 $ n $ 阶的混合时间上界。
• 提出一种不依赖正则性的关键计数引理的新证明，从而可推广到不规则图。

提出的方法

• 使用多商品流论证来界定开关马尔可夫链的混合时间。
• 提出一种新颖的关键计数引理的证明，该证明不假设度序列的正则性。
• 应用三重开关操作来分析具有受控缺陷数的图状态之间的转移。
• 采用双重计数技术来界定不同缺陷水平下配置数的比值。
• 推导出有效开关和反向操作数量的上界，以控制流负载。
• 结合平稳分布大小、路径长度和边连通性的上界，推导出最终的混合时间上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，开关马尔可夫链对不规则度序列是快速混合的？
• RQ2 在快速混合证明中使用的关键计数引理能否推广到超越正则序列的情形？
• RQ3 不规则图的开关链混合时间与正则图相比如何？
• RQ4 混合时间对最大度 $ d_{\text{max}} $ 和总度数和 $ M $ 的依赖关系是什么？
• RQ5 在类似约束下，正则有向图的快速混合结果能否推广到不规则有向度序列？

主要发现

• 对于任意满足 $ d_{\text{min}} \geq 1 $ 且 $ d_{\text{max}} \leq \frac{1}{4}\sqrt{M} $ 的图形度序列，开关马尔可夫链是快速混合的。
• 混合时间上界为 $ \tau(\varepsilon) \leq \frac{1}{10} d_{\text{max}}^{14} M^9 (M\log M + \log \varepsilon^{-1}) $，仅比正则情况大一个 $ n $ 阶的量级。
• 新证明消除了对正则性的需求，使得结果可推广至不规则序列。
• 该上界对平均度为常数的稀疏图和平均度为线性关系的稠密图均成立。
• 该结果意味着开关链对一大类不规则图是高效的，包括 $ d_{\text{max}} = O(\sqrt{M}) $ 的图。
• 分析表明，类似技术可能在类似度约束下推广到不规则有向图。