[论文解读] The symmetric power and étale realisation functors commute

Arnav Tripathy|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文证明了在代数闭域上，对于具有分离闭包的正规、诺特、几何连通的代数空间，对称幂函子与平展实现函子在弱等价意义下可交换。关键结果是平展同伦型的对称幂与对称幂的平展同伦型之间的弱等价，从而得到一个平展同伦型的有效的Dold-Thom定理，以及在对称幂稳定化映射下平展同伦群的稳定化。

ABSTRACT

We show that under mild hypotheses on a proper algebraic space $X$, the functors of taking its symmetric powers and its étale realisation commute up to weak equivalence. We conclude an effective version of the Dold-Thom theorem for the étale site and discuss the stabilisation results for the natural morphisms of étale homotopy groups $π_k \mathrm{Sym}^n X o π_k \mathrm{Sym}^{n+1} X$ in the context of the Weil conjectures.

研究动机与目标

• 在代数几何中建立对称幂与平展同伦型之间的比较。
• 证明在温和假设下，从对称幂的平展同伦型到对称幂的平展同伦型的自然映射是弱等价。
• 通过使用对称幂，推导出平展同伦型的有效的Dold-Thom定理，将平展同调与无限对称幂的同伦群联系起来。
• 分析自然包含映射 $\operatorname{Sym}^n X \to \operatorname{Sym}^{n+1}X$ 下平展同伦群的稳定化。
• 通过与经典拓扑学中的Dold-Thom定理类比，为平展同调提供一个同伦基础。

提出的方法

• 使用Artin与Mazur的平展同伦理论，为代数空间赋予一个pro-同伦型。
• 应用通用系数定理，将上同调形式下的整系数与挠系数平展同调联系起来。
• 使用Borel-Moore同调与长正合列分析实仿射空间对称幂的连通性。
• 通过在单形上对对称积进行分层的归纳论证，以控制低度同调。
• 使用余纤维列 $\operatorname{Sym}^{n-1}X \to \operatorname{Sym}^n X \to \text{cone}$ 分析连通性与稳定化。
• 通过胞腔分解与 $\mathbb{R}^k$ 上的对称幂构造，将问题约化到球面情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称幂函子是否在弱等价意义下与平展实现函子可交换，对于具有分离闭包的正规、诺特、几何连通的代数空间？
• RQ2 能否通过使用对称幂，为平展同伦型建立一个有效的Dold-Thom定理？
• RQ3 自然稳定化映射 $\operatorname{Sym}^n X \to \operatorname{Sym}^{n+1} X$ 在多大程度上在平展同伦群上诱导同构？
• RQ4 在平展设定下，包含映射 $\operatorname{Sym}^{n-1}X \to \operatorname{Sym}^n X$ 的余纤维的连通性如何？
• RQ5 代数几何中对称幂的同伦稳定化如何与拓扑学中的Dold-Thom定理相类比？

主要发现

• 对于具有分离闭包的正规、诺特、几何连通的代数空间，自然映射 $\operatorname{Sym}^n(X_{\text{ét}}) \to (\operatorname{Sym}^n X)_{\text{ét}}$ 是pro-同伦型之间的弱等价。
• 无限对称幂 $\operatorname{Sym}^\infty X$ 实现了平展同调群：$\pi_n^{\text{ét}} \operatorname{Sym}^\infty X \simeq \widetilde{H}_n(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z})$。
• 稳定化映射 $\alpha_n: \operatorname{Sym}^n X \to \operatorname{Sym}^{n+1} X$ 在 $\pi_k^{\text{ét}}$ 上诱导同构（当 $k < n$ 时）与满射（当 $k = n$ 时）。
• 包含映射 $\operatorname{Sym}^{n-1}S^k \to \operatorname{Sym}^n S^k$ 的余纤维为 $S^{nk-1}/S_n$，其为 $(n-1)$-连通的，从而导致同伦群的稳定化。
• 对称幂 $\operatorname{Sym}^n \mathbb{R}^k$ 的Borel-Moore同调在度数小于 $n$ 时为零，通过分层与K"unneth型分解的归纳法证明。
• 稳定化结果对球面的对称幂成立，并通过胞腔分解与胞腔对称积的粘合推广到一般代数空间。