[论文解读] The symplectic fermion ribbon quasi-Hopf algebra and the SL(2,Z)-action on its centre

Vanda Farsad, Azat M. Gainutdinov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文构建了一类可分解的扭结 quasi-Hopf 代数 $Q(N)$，其作为 $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ 与 $2N$ 个生成元的外代数和 Clifford 代数的半直积实现，并确立了其表示范畴与辛费米子范畴 $SF(N)$ 的扭结等价关系。通过 Lyubashenko 的形式化方法，计算了 $Q(N)$ 中心上的投影 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用，确认其与辛费米子顶点算子超代数的偶部的伪迹函数相容，从而验证了一个非半单模 Verlinde 公式。

ABSTRACT

We introduce a family of factorisable ribbon quasi-Hopf algebras $Q(N)$ for $N$ a positive integer: as an algebra, $Q(N)$ is the semidirect product of $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ with the direct sum of a Grassmann and a Clifford algebra in $2N$ generators. We show that $Rep Q(N)$ is ribbon equivalent to the symplectic fermion category $SF(N)$ that was computed by the third author from conformal blocks of the corresponding logarithmic conformal field theory. The latter category in turn is conjecturally ribbon equivalent to representations of $V_{ev}$, the even part of the symplectic fermion vertex operator super algebra. Using the formalism developed in our previous paper we compute the projective $SL(2,\mathbb{Z})$-action on the centre of $Q(N)$ as obtained from Lyubashenko's general theory of mapping class group actions for factorisable finite ribbon categories. This allows us to test a conjectural non-semisimple version of the modular Verlinde formula: we verify that the $SL(2,\mathbb{Z})$-action computed from $Q(N)$ agrees projectively with that on pseudo trace functions of $V_{ev}$.

研究动机与目标

• 为正整数 $N$ 构造一类可分解的扭结 quasi-Hopf 代数 $Q(N)$，统一群代数、外代数和 Clifford 代数的结构。
• 建立表示范畴 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ 与源自对数共形场论中共形块的辛费米子范畴 $SF(N)$ 之间的扭结等价关系。
• 利用可分解有限扭结范畴的 Lyubashenko 形式化理论，计算 $Q(N)$ 中心上的投影 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用。
• 通过比较 $Q(N)$ 上的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用与辛费米子顶点算子超代数的偶部 $V_{\mathrm{ev}}$ 的伪迹函数，测试并验证非半单模 Verlinde 公式。
• 在非半单设定下，为对数共形场论中的模群作用提供表示理论实现。

提出的方法

• 代数 $Q(N)$ 定义为 $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ 与 $2N$ 个生成元的外代数和 Clifford 代数的直和的半直积，赋予 quasi-Hopf 代数结构。
• 通过 Drinfeld 扭变和 $R$-矩阵的选择，构造 $Q(N)$ 上的扭结结构，确保可分解性与扭结元素的相容性。
• 利用 Lyubashenko 关于可分解有限扭结范畴中映射类群作用的一般理论，计算 $Q(N)$ 中心上的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用。
• 作用通过作用于 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ 的格罗滕迪克群上的模 $S$ 和 $T$ 矩阵表达，其投影表示源于非半单设定。
• 使用非半单模范畴的形式化，计算并比较 $V_{\mathrm{ev}}$ 的伪迹函数与 $\mathrm{Z}(\mathrm{Rep}\,Q(N))$ 上的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用。
• 通过特征表与模数据进行比较，验证了两种作用之间的投影一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一类可分解的扭结 quasi-Hopf 代数 $Q(N)$，以在对数共形场论中实现辛费米子范畴 $SF(N)$？
• RQ2 中心上的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用的显式形式是什么？它如何从 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ 的范畴结构中导出？
• RQ3 $\mathrm{Z}(\mathrm{Rep}\,Q(N))$ 上的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用是否与 $V_{\mathrm{ev}}$ 的伪迹函数作用在投影意义下等价？
• RQ4 能否通过 $Q(N)$ 的表示理论测试并验证非半单模 Verlinde 公式？
• RQ5 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ 中 $SL(2,\mathbb{Z})$ 表示的分解模式如何与辛费米子范畴的结构相关联？

主要发现

• 代数 $Q(N)$ 被构造为 $\mathbb{C}\mathbb{Z}_2$ 与 $2N$ 个生成元的外代数和 Clifford 代数的直和的半直积，形成一类可分解的扭结 quasi-Hopf 代数。
• 证明了表示范畴 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ 与辛费米子范畴 $SF(N)$ 扭结等价，确认了对数共形场论模型的范畴实现。
• 通过 Lyubashenko 的形式化方法，显式计算了 $Q(N)$ 中心上的投影 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用，得到了作用于格罗滕迪克群上的模 $S$ 和 $T$ 矩阵。
• $\mathrm{Z}(\mathrm{Rep}\,Q(N))$ 上的 $SL(2,\mathbb{Z})$-作用与 $V_{\mathrm{ev}}$ 的伪迹函数作用在投影意义下一致，为非半单模 Verlinde 公式提供了有力证据。
• 分析了 $\mathrm{Rep}\,Q(N)$ 中 $SL(2,\mathbb{Z})$ 表示的分解模式，为非半单模范畴的结构提供了新见解。
• 结果与 $SF(N)$ 与 $\mathrm{Rep}\,V_{\mathrm{ev}}$ 之间猜想的扭结等价性一致，本文为测试此类等价性提供了具体的计算框架。