[论文解读] The symplectic nature of the space of dormant indigenous bundles on algebraic curves

Yasuhiro Wakabayashi|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文在正特征域上的代数曲线背景下，建立了普通休眠曲线的余切叠与休眠原住民丛模叠之间的典范辛同构。该同构保持辛结构，推广了复几何中Kawai等人经典的成果，并由此构造了休眠原住民丛模叠上的弗罗贝尼乌斯-常数量子化。

ABSTRACT

We study the symplectic nature of the moduli stack classifying dormant curves over a field $K$ of positive characteristic, i.e., proper hyperbolic curves over $K$ equipped with a dormant indigenous bundle. The central objects of the present paper are the following two Deligne-Mumford stacks. One is the cotangent bundle ${^\circledcirc T^{\vee ^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ of the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{M}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ classifying ordinary dormant curves over $K$ of genus $g$. The other is the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ classifying ordinary dormant curves over $K$ equipped with an indigenous bundle. These Deligne-Mumford stacks admit canonical symplectic structures respectively. The main result of the present paper asserts that a canonical isomorphism ${^\circledcirc T^{\vee ^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}} ightarrow {^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ preserves the symplectic structure. This result may be thought of as a positive characteristic analogue of the works of S. Kawai (in the paper entitled "The symplectic nature of the space of projective connections on Riemann surfaces"), P. Arés-Gastesi, I. Biswas, and B. Loustau. Finally, as its application, we construct a Frobenius-constant quantization on the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$.

研究动机与目标

• 研究正特征下休眠原住民丛模叠的辛几何。
• 在配备有原住民丛的普通休眠曲线模叠上建立典范辛结构。
• 证明从普通休眠曲线的余切叠到此类丛模叠的自然映射是辛同构。
• 将辛同构应用于构造休眠原住民丛模叠上的弗罗贝尼乌斯-常数量子化。
• 提供经典辛几何中关于叶状结构与泰希缪勒空间结果在正特征下的类比。

提出的方法

• 定义分类普通休眠曲线（亏格为 $g$）的模叠 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$，其中 $K$ 为正特征域。
• 构造该模叠的余切叠 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K}$，并赋予其典范辛结构。
• 定义分类配备有原住民丛的普通休眠曲线的模叠 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$，并赋予其典范辛结构。
• 建立 Deligne-Mumford 叠之间的典范同构 $\Psi_{g,K}: {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K} \xrightarrow{\sim} {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$。
• 证明该同构保持辛结构，即其为辛同构。
• 利用该辛同构，将受限结构与弗罗贝尼乌斯-常数量子化从余切叠转移到休眠原住民丛模叠。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，配备有原住民丛的普通休眠曲线模叠是否具有典范辛结构？
• RQ2 从普通休眠曲线的余切叠到此类丛模叠的自然映射是否保持辛结构？
• RQ3 该叠之间的辛同构能否用于构造休眠原住民丛模叠上的弗罗贝尼乌斯-常数量子化？
• RQ4 该构造与黎曼曲面上叶状结构的经典辛几何有何关联？
• RQ5 在该辛框架中，$p$-曲率与 $p$-进泰希缪勒理论起何作用？

主要发现

• 配备有原住民丛的普通休眠曲线模叠 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 具有典范辛结构。
• 普通休眠曲线的余切叠 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K}$ 也具有典范辛结构。
• 存在一个 Deligne-Mumford 叠之间的典范同构 $\Psi_{g,K}: {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K} \xrightarrow{\sim} {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$。
• 该同构 $\Psi_{g,K}$ 保持辛结构，因此是辛同构。
• 该辛同构使得能够将受限结构与弗罗贝尼乌斯-常数量子化从余切叠转移到休眠原住民丛模叠。
• 作为推论，模叠 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 具有典范的弗罗贝尼乌斯-常数量子化。