[论文解读] The Symplectic Structure of General Relativity in the Double-Null (2+2) Formalism

Richard J. Epp|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 1995

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文在双null（2+2）形式下推导了广义相对论的辛结构，其中时空被沿类空2-曲面的二维叶状结构所分割。它将两个物理自由度编码为2-曲面法向量的扭曲（twist）中，并通过特征初值问题建立了与标准共形2-度量（剪切）变量之间的典范变换。

ABSTRACT

In the (2+2) formulation of general relativity spacetime is foliated by a two-parameter family of spacelike 2-surfaces (instead of the more usual one-parameter family of spacelike 3-surfaces). In a partially gauge-fixed setting (double-null gauge), I write down the symplectic structure of general relativity in terms of intrinsic and extrinsic quantities associated with these 2-surfaces. This leads to an identification of the reduced phase space degrees of freedom. In particular, I show that the two physical degrees of freedom of general relativity are naturally encoded in a quantity closely related to the twist of the pair of null normals to the 2-surfaces. By considering the characteristic initial-value problem I establish a canonical transformation between these and the more usually quoted conformal 2-metric (or shear) degrees of freedom. (This paper is based on a talk given at the Fifth Midwest Relativity Conference, Milwaukee, USA.)

研究动机与目标

• 使用类空2-曲面的二维参数叶状结构，以(2+2)形式表述广义相对论的辛结构。
• 在部分规范固定的双null设置下，识别约化相空间的自由度。
• 表明广义相对论的两个物理自由度自然地编码于2-曲面法向量的扭曲中。
• 在基于扭曲的变量与传统的共形2-度量（剪切）自由度之间建立典范变换。
• 为广义相对论中的特征初值问题提供一个几何且典范的框架。

提出的方法

• 采用(2+2)形式，以类空2-曲面的二维参数族代替3-曲面来叶状分割时空。
• 施加双null规范条件以固定部分微分同胚自由度，从而简化辛结构。
• 以与2-曲面相关的内蕴和外蕴几何量（如诱导度量和第二基本形式）表达辛结构。
• 通过2-曲面法向量的扭曲识别物理自由度。
• 利用特征初值问题将基于扭曲的变量与标准共形2-度量（剪切）变量联系起来。
• 推导出基于扭曲与剪切变量之间的典范变换，表明其在相空间表述中的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论的辛结构如何在双null（2+2）形式下表述？
• RQ2 在此形式下，约化相空间的自由度是什么？其几何解释为何？
• RQ3 null法向量的扭曲如何与引力的物理自由度相关联？
• RQ4 是否可以建立基于扭曲的变量与传统共形2-度量（剪切）变量之间的典范变换？
• RQ5 特征初值问题如何促进该框架中物理自由度的识别？

主要发现

• 广义相对论的两个物理自由度在双null形式中自然地编码于2-曲面法向量对的扭曲中。
• 在双null规范条件下，辛结构完全以2-曲面上的内蕴和外蕴几何数据表达。
• 建立了基于扭曲的变量与标准共形2-度量（剪切）变量之间的典范变换，连接了两种不同的相空间描述。
• 特征初值问题为系统的演化和规范变量的识别提供了自洽的框架。
• 该形式为引力自由度提供了几何上清晰的识别，强调了零曲面几何的作用。
• 结果证实了(2+2)形式在正则引力中的自洽性，并为广义相对论相空间结构提供了新视角。