[论文解读] The syntomic regulator for $K_4$ of curves

Amnon Besser, Rob de Jeu|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文计算了在具有良好约化性质的 $p$-进域上光滑射影几何不可约曲线 $C$ 上的 $K_4^{(3)}(C)$ 的叠调配符（syntomic regulator），通过 $p$-进多 polylogarithm 和 Coleman 积分表达结果。其核心贡献是给出了与 de Rham 上同调类配对的配对公式，采用三线性映射（'三重指标'）和各点处的局部指标，将经典配对公式推广至 $p$-进情形。

ABSTRACT

Let $C$ be a curve defined over a discrete valuation field of characteristic zero where the residue field has positive characteristic. Assuming that $C$ has good reduction over the residue field, we compute the syntomic regulator on a certain part of $K_4^[(3)}(C)$. The result can be expressed in terms of $p$-adic polylogarithms and Coleman integration. We also compute the syntomic regulator on a certain part of $K_4^[(3)}(F)$ for the function field $F$ of $C$. The result can be expressed in terms of $p$-adic polylogarithms and Coleman integration, or by using a trilinear map ("triple index") on certain functions.

研究动机与目标

• 计算在具有良好约化性质的 $p$-进域上光滑射影几何不可约曲线 $C$ 上的 $K_4^{(3)}(C)$ 的叠调配符。
• 以 $p$-进多 polylogarithm 和 Coleman 积分表达与 de Rham 上同调类的配对公式。
• 为 $K_4^{(3)}(F)$ 中的元素（其中 $F = K(C)$）提供一个基于三线性映射（'三重指标'）的显式配对公式。
• 建立复分析配对公式的 $p$-进类比，利用局部指标与对 $H^1_{\text{dR}}(C/K)$ 的投影。

提出的方法

• 在曲线特殊纤维上函数的局部环 $\mathcal{O}$ 上定义一个动机复形 $\mathcal{M}_{(3)}(\mathcal{O})$。
• 将叠调配符应用于 $H^2(\mathcal{M}_{(3)}(\mathcal{O}))$ 中的元素，通过 de Rham 上同调同构映射至 $H^1_{\text{rig}}(\mathscr{C}_\kappa/K)$。
• 利用 Coleman 积分和 $p$-进多 polylogarithm 表达配对公式 $\operatorname{reg}_p(\alpha) \cup \omega \in K$，其中 $\omega$ 为 de Rham 1-形式。
• 利用三线性映射 $I(f,g,h)$ 及其在置换下的交错和来定义配对，借助恒等式 $\sum_i (1-g_i) \wedge g_i \wedge f_i = 0$。
• 在奇点处应用局部指标 $c_z$，并利用粘合公式整合所有点（包括无穷远点）的贡献。
• 依赖于 $p$-进积分理论与 $p$-进 Hodge 理论，特别是刚性上同调与 de Rham 上同调之间的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算具有良好约化性质的 $p$-进域上曲线的 $K_4^{(3)}(C)$ 的叠调配符？
• RQ2 $K_4$-类在曲线上的复分析配对公式的 $p$-进类比是什么？
• RQ3 与 de Rham 上同调的配对能否通过 $p$-进多 polylogarithm 和 Coleman 积分表达？
• RQ4 函数上的三线性映射（'三重指标'）在 $p$-进情形下与配对的关系如何？
• RQ5 局部指标与常数项修正在配对最终公式中起什么作用？

主要发现

• 通过 $p$-进多 polylogarithm 和 Coleman 积分，显式计算了 $K_4^{(3)}(C)$ 上的叠调配符，结果以局部指标与三线性映射表达。
• 对于 $\alpha \in K_4^{(3)}(C)$ 与 $\omega \in H^1_{\text{dR}}(C/K)$，配对 $\operatorname{reg}_p(\alpha) \cup \omega$ 表达为各点局部贡献之和，包含 $\operatorname{ord}_y(f_i)$、$c_z(\int \log(\cdot) F_\omega \, d\!\log(\cdot))$ 与三线性项。
• 该公式等价于三重指标表达式 $\sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) I(f_i, g_i, 1-g_i)^\sigma$，由于满足上链条件 $\sum_i (1-g_i) \wedge g_i \wedge f_i = 0$ 而恒为零，从而保证一致性。
• 最终表达式简化为涉及 $\operatorname{ord}_y(g_i)$ 与 $\operatorname{ord}_y(1-g_i)$ 的项，以及 $\log(f_i)$ 对 $F_\omega \, d\!\log(g_i)$ 与 $F_\omega \, d\!\log(1-g_i)$ 的积分。
• 结果与已知的 $p$-进配对公式（如 Coleman 与 de Shalit 的结果）一致，且与朴素直觉相比存在因子 4 的差异，原因在于 $d\textup{L}_{\textup{mod},2}(g)$ 的非全纯性。
• 在无穷远处使用常数项修正对恢复正确的全局公式至关重要，最终表达式在通过粘合与投影至 $H^1_{\text{dR}}(C/K)$ 计算时，与预期配对结果一致。