[论文解读] The tail empirical process of regularly varying functions of geometrically ergodic Markov chains

Rafał Kulik, Philippe Soulier+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 40被引用 20

一句话总结

本论文在单一可检验的几何漂移（Foster-Lyapunov）条件下，建立了由几何遍历马尔可夫链生成的正则变化时间序列的尾部经验过程的弱收敛性。主要贡献是一个通用框架，可确保尾部分组和的渐近正态性，并实现聚类统计量的可行估计，其应用涵盖 GARCH 和 AR(1) 模型。

ABSTRACT

We consider a stationary regularly varying time series which can be expressedas a function of a geometrically ergodic Markov chain. We obtain practical conditionsfor the weak convergence of the tail array sums and feasible estimators ofcluster statistics. These conditions include the so-called geometric drift or Foster-Lyapunovcondition and can be easily checked for most usual time series models witha Markovian structure. We illustrate these conditions on several models and statisticalapplications. A counterexample is given to show a different limiting behaviorwhen the geometric drift condition is not fulfilled.

研究动机与目标

• 建立几何遍历马尔可夫链的正则变化函数的尾部分组和的弱收敛性。
• 提供实用且可验证的条件——特别是几何漂移条件——以确保尾部分布统计量的渐近正态性。
• 将泛函收敛结果扩展至需要在 $J_1$ 拓扑下紧致性的统计应用。
• 在 AR(1) 和 GARCH 过程等常见时间序列模型上展示该方法。
• 表明当几何漂移条件不成立时，尾部经验过程的极限行为将偏离标准极值极限，通过反例予以说明。

提出的方法

• 利用几何（Foster-Lyapunov）漂移条件，确保底层马尔可夫链具有几何 $β$-混合性和不可约性。
• 应用不可约马尔可夫链的再生结构，推导尾部分组和渐近正态性的界。
• 应用三角阵列的林德伯格中心极限定理，证明有限维收敛性。
• 通过比林斯利准则和伪度量熵条件，利用 $J_1$ 紧致性建立泛函收敛性。
• 将经验过程理论（Giné 和 Nickl, 2016；van der Vaart 和 Wellner, 1996）适配于 $\ell_\infty(\mathcal{F})$ 中的弱收敛性处理。
• 利用正则变化和矩条件，推导尾部经验过程等泛函的显式极限方差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由几何遍历马尔可夫链驱动的正则变化时间序列的尾部经验过程会弱收敛？
• RQ2 几何漂移条件能否作为统一准则，用于验证常见时间序列模型中尾部分组和的渐近正态性？
• RQ3 当几何漂移条件不成立时，尾部经验过程的极限行为如何变化？与标准极值极限有何不同？
• RQ4 在几何漂移条件下，如何构建聚类统计量的可行估计量？
• RQ5 马尔可夫链的几何遍历性在多大程度上能确保泛函中心极限定理所需的混合性和矩条件？

主要发现

• 几何漂移条件确保时间序列为 $β$-混合且具有几何衰减，从而可应用弱依赖过程的中心极限定理。
• 在几何漂移条件下，尾部经验过程 $\widetilde{T}_n(s)$ 在 $D(0,\infty)$ 中弱收敛，极限方差为 $\frac{2s^{1-\alpha}}{\alpha(\alpha-1)}$。
• 在熵条件和等度连续性条件下，$\mathbb{M}_n(\phi)$ 的有限维分布收敛到高斯过程，且在 $J_1$ 拓扑下实现泛函收敛。
• 对于尾指数为 $\beta$ 的正则变化 Lévy 过程 $Z_t$，归一化和 $\frac{1}{u_n\sqrt{n\bar{F}_Z(u_n)}}\sum_{j=1}^n \{(Z_{\sigma_{j-1}+1} - [u_n s])_+ - \mathbb{E}[(Z_0 - [u_n s])_+]\}$ 在分布上收敛到方差为 $\frac{2s^{2-\beta}}{(β-1)(\u03b2-2)}$ 的正态变量。
• 反例表明，若不满足几何漂移条件，尾部经验过程的极限行为可能偏离标准极值极限，说明该条件的必要性。
• 该方法适用于常见模型如 AR(1) 和 GARCH 过程，其中可通过显式 Lyapunov 函数验证漂移条件。