[论文解读] The TAP equation: evaluating combinatorial innovation in Biocosmology

Marina Cortês, Stuart Kauffman+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 9

一句话总结

本文提出并分析了TAP方程——一种生物宇宙学中组合创新的数学模型，通过从现有元素递归生成新元素来捕捉爆炸性增长。该研究推导出精确的解析近似以估算爆炸时间，表明向超指数发散的转变是突然且不可预测的，对经济、进化和环境系统可持续性具有深远影响。

ABSTRACT

We investigate solutions to the TAP equation, a phenomenological implementation of the Theory of the Adjacent Possible. Several implementations of TAP are studied, with potential applications in a range of topics including economics, social sciences, environmental change, evolutionary biological systems, and the nature of physical laws. The generic behaviour is an extended plateau followed by a sharp explosive divergence. We find accurate analytic approximations for the blow-up time that we validate against numerical simulations, and explore the properties of the equation in the vicinity of equilibrium between innovation and extinction. A particular variant, the two-scale TAP model, replaces the initial plateau with a phase of exponential growth, a widening of the TAP equation phenomenology that may enable it to be applied in a wider range of contexts.

研究动机与目标

• 开发并分析TAP方程的变体，作为生物宇宙学及相关领域中组合创新的模型。
• 解决由相邻可能所支配的系统中爆炸性增长开始时间的预测挑战。
• 通过引入双尺度变体扩展TAP方程的物性，将初始平台替换为指数增长。
• 为多种TAP变体提供精确的解析爆炸时间近似，并通过数值模拟进行验证。
• 探讨TAP动力学对现实现象（如经济发展、技术变革和环境崩溃）的影响。

提出的方法

• 将TAP方程表述为离散递推关系：$ M_{t+1} = M_t(1 - \mu) + \sum_{i=2}^{M_t} \alpha_i \binom{M_t}{i} $，其中$ \mu $为灭绝率，$ \alpha_i $控制组合生成效率。
• 对常数$ \alpha_i = \alpha $情形进行解析分析，表明求和可简化为$ \alpha(2^{M_t} - M_t - 1) $，从而导致超指数增长。
• 利用渐近分析推导爆炸时间的解析近似，并通过多种参数区域的数值模拟进行验证。
• 提出双尺度TAP模型，将个体创新与组合创新的时间尺度分离，用指数增长阶段替代初始平台。
• 考虑TAP方程的随机和连续近似，与确定性公式进行比较。
• 探讨具有$ -M^2 $型抑制的逻辑斯蒂TAP变体的可能性，以缓解爆炸性增长，但此工作留待未来研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 TAP方程在何种解析条件下表现出有限时间内的爆炸？如何准确估算爆炸时间？
• RQ2 在TAP模型中引入双尺度结构后，其动力学行为如何改变，特别是如何用指数增长替代初始平台？
• RQ3 TAP方程在多大程度上能够模拟现实现象，如GDP增长、专利激增和环境变化？
• RQ4 为何TAP方程中的爆炸转变在事前本质上不可预测？这对人类经济发展的系统意味着什么？
• RQ5 能否通过逻辑斯蒂化修改TAP方程来抑制爆炸性增长？若能，其条件是什么？

主要发现

• TAP方程表现出典型的“曲棍球棒”增长形态：长期平台期后，迅速进入有限时间内无限增长的超指数爆发。
• 在常数$ \alpha_i = \alpha $情形下，初始值$ M_0 = 2 $，$ \mu = 0 $，$ \alpha = 1 $，系统在$ M_4 \simeq 10^{38} $时达到，$ M_5 \simeq \exp(10^{38}) $，表明在五步内即发生爆炸性增长。
• 推导出高精度的爆炸时间解析近似，并通过数值模拟在多种TAP变体中得到验证，显示出高度精确性。
• 双尺度TAP模型用指数增长阶段替代初始平台，扩大了模型在具有不同创新与组合时间尺度系统中的适用范围。
• 爆炸转变被发现是突然发生的，且此前无任何趋势预兆，因此在发生前本质上不可预测。
• 结果表明，若TAP模型描述了经济或技术发展，则意味着由于转变的突然性，几十年内可能发生不可逆崩溃或环境灾难。