[论文解读] The Tarski-Seidenberg Theorem with Quantifiers and Polynomial Vector Variational Inequalities

Vu Trung Hieu|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文利用带量词的Tarski-Seidenberg定理，建立了多项式向量变分不等式与优化问题中解集的半代数结构及其连通性。证明了这些解集是半代数集，并在不假设Mangasarian-Fromovitz约束规范的前提下，给出了其连通分支数目的显式上界，扩展了Kim、Pham与Tuyen，以及Huong、Yao与Yen的先前结果。

ABSTRACT

We study the connectedness structure of the proper Pareto solution sets, the Pareto solution sets, the weak Pareto solution sets of polynomial vector variational inequalities, as well as the connectedness structure of the efficient solution sets and the weakly efficient solution sets of polynomial vector optimization problems. By using the Tarski-Seidenberg Theorem with quantifiers, we are able to prove that these solution sets are semi-algebraic without imposing the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification on the system of constraints. Furthermore, we obtain explicit upper bounds for the number of connected components of these solution sets. Thus, the present paper develops an idea suggested by D.S. Kim, T.S. Pham, and N.V. Tuyen [arXiv:1611.07108, 22 November 2016; Remark 3.2], and gives some refinements and extensions for the results of N.T.T. Huong, J.-C. Yao, and N.D. Yen [SIAM J. Optim. {\bf 26}, 1060--1071 (2016)].

研究动机与目标

• 分析多项式向量变分不等式与优化问题中真Pareto、Pareto、弱Pareto、有效及弱有效解集的连通性结构。
• 在不假设Mangasarian-Fromovitz约束规范的前提下，建立这些解集为半代数集。
• 推导这些解集连通分支数目的显式上界。
• 扩展并改进Kim、Pham与Tuyen（2016）以及Huong、Yao与Yen（2016）关于解集拓扑结构的早期结果。

提出的方法

• 应用带量词的Tarski-Seidenberg定理，将描述解集的逻辑公式转化为半代数集。
• 利用量化消除技术，将解集表征为半代数集，确保其拓扑正则性。
• 运用代数几何工具，分析由多项式不等式与等式定义的解集结构。
• 通过半代数几何中的复杂度界推导连通分支数目的上界。
• 通过在多项式系统上应用量化消除，避免对Mangasarian-Fromovitz约束规范的依赖。
• 证明解集在有限并与交运算下封闭，保持半代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设Mangasarian-Fromovitz约束规范的前提下，能否表征多项式向量变分不等式中解集的连通性结构？
• RQ2 多项式向量变分不等式中的真Pareto、Pareto与弱Pareto解集是否为半代数集？
• RQ3 能否为这些解集的连通分支数目建立显式上界？
• RQ4 多项式向量优化问题中解集的拓扑性质与向量变分不等式中解集的拓扑性质有何异同？
• RQ5 带量词的Tarski-Seidenberg定理在多大程度上可用于推广现有解集结构结果？

主要发现

• 多项式向量变分不等式中真Pareto解集为半代数集，且其连通分支数目存在显式上界。
• 多项式向量变分不等式中Pareto解集为半代数集，且其连通分支数目具有统一的有界性。
• 多项式向量变分不等式中弱Pareto解集为半代数集，其连通分支数目有显式上界。
• 多项式向量优化问题中有效解集与弱有效解集为半代数集，且具有有限多个连通分支。
• 上述结果无需依赖Mangasarian-Fromovitz约束规范，从而扩大了先前定理的适用范围。
• 本文提供了一个构造性框架，通过在多项式系统上进行量化消除，确定解集的拓扑复杂度。