[论文解读] The tautological rings of the moduli spaces of stable maps

Dragos Oprea|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文证明了在 $SL$ 标志簇上的 genus zero 稳定映射模空间上，所有有理上同调类都是典型的，将 Keel 定理从稳定曲线推广到了 Gromov-Witten 理论。通过使用由评估映射、$\tau$-类以及通过遗忘和粘合态射的推出构造的典型类，作者建立整个有理上同调由这些典型类生成，意味着 Gromov-Witten 不变量完整地捕捉了这些空间的交点理论。

ABSTRACT

We show that the rational cohomology of the genus zero stable map spaces to SL flag varieties is entirely tautological.

研究动机与目标

• 将 Keel 关于稳定曲线模空间典型上同调的定理推广到 $SL$ 标志簇上的 genus zero 稳定映射。
• 证明 Kontsevich 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)$ 的典型环在 $X = G/P$ 为标志簇时生成完整的有理上同调。
• 通过证明所有有理上同调类都是典型的，表明 Gromov-Witten 不变量完整地编码了这些模空间的整个交点理论。

提出的方法

• 将 $\overline{\mathcal{M}}(\Gamma)$ 的典型环 $R^\star(\overline{\mathcal{M}}(\Gamma))$ 定义为在遗忘和粘合态射下对推出封闭、且在目标标志簇 $X$ 的上同调类的拉回下也封闭的最小系统。
• 通过评估映射 $ev_i^*\alpha$（$\alpha \in H^\star(X)$）构造典型类，通过遗忘推出构造 $\kappa$-类，通过余切线丛构造 $\psi$-类。
• 使用多余交点公式计算不同对偶图层 $\overline{\mathcal{M}}(\Gamma)$ 上支持的典型类的乘积，表明多余法丛可分解为 $\psi$-类的和。
• 应用投影公式并利用 Gysin 映射与平坦拉回的相容性，证明 $\psi$-类和 $\kappa$-类保持典型系统的封闭性。
• 通过约化到 $\mathcal{S}^p$ 中的类并利用标记数的归纳法，证明典型系统对所有运算都封闭。
• 利用投影嵌入 $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^r$ 将一般标志簇的情形约化到已知的 $\mathbb{P}^r$ 情形，其中使用了 Pandharipande 和 Maulik-Okounkov 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $X$ 为 $SL$ 标志簇时，$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)$ 上的所有有理上同调类是否都是典型的？
• RQ2 能否由评估类、$\kappa$-类和 $\psi$-类生成 genus zero 稳定映射模空间到标志簇的典型环？
• RQ3 Gromov-Witten 不变量在多大程度上决定了这些模空间的完整交点理论？
• RQ4 对于一般标志簇，典型系统是否对遗忘推出、粘合态射和评估拉回封闭？
• RQ5 在 $\mathbb{P}^r$ 上的结果是否可通过嵌入和基变换推广到任意标志簇？

主要发现

• 当 $X$ 为 $SL$ 标志簇时，$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)$ 上的所有有理上同调类都是典型的，将 Keel 的结果从稳定曲线推广到了 Gromov-Witten 理论。
• 典型环对遗忘推出和粘合态射封闭，确保该系统在自然几何运算下行为良好。
• 典型类的乘积通过多余交点公式计算，多余法丛可表示为对偶图上 $\psi$-类的乘积。
• $\psi$-类的作用保持典型系统封闭，这通过投影公式和与 Gysin 映射的相容性得到证明。
• 通过投影嵌入将一般标志簇情形约化到 $\mathbb{P}^r$，并利用基变换和该情形下的已知结果，结论成立。
• 虚拟基本类本身并非立即是典型的，但其与典型类的相互作用通过典型系统得到控制，从而确认整个上同调都是典型的。