[论文解读] The telescope approach to embeddability of compacta

Sergey A. Melikhov, Evgenij V. Shchepin|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文为在 $\mathbb{R}^{m}$ 中嵌入 $n$-维紧致空间（$m > \frac{3(n+1)}{2}$）建立了上同调准则，表明此类嵌入性等价于存在从 $X \times X \setminus \Delta$ 到 $S^{m-1}$ 的等变映射，且完全障碍由扭曲欧拉类的最高次幂给出。当 $m = 2n$ 且 $n > 3$ 时，嵌入性等价于在 $X \times X \setminus \Delta$ 的紧致子集 $K_i$ 上，$\varprojlim^1 H^{2n-1}(K_i)$ 中该障碍的消失，从而解决了 ANR 空间 Borsuk 问题的关键情形，并推广了关于广义流形和可缩空间的嵌入结果。

ABSTRACT

We show that an n-dimensional compactum X embeds in R^m, where m>3(n+1)/2, if and only if X x X - Δadmits an equivariant map to S^{m-1}. In particular, X embeds in R^{2n}, n>3, iff the top power of the (twisted) Euler class of the factor-exchanging involution on X x X - Δis trivial. Assuming that X quasi-embeds in R^{2n} (i.e. is an inverse limit of n-polyhedra, embeddable in R^{2n}), this is equivalent to the vanishing of an obstruction in lim^1 H^{2n-1}(K_i) over compact subsets K_i\subset X x X - Δ. One application is that an n-dimensional ANR embeds in R^{2n} if it quasi-embeds in R^{2n-1}, n>3. We construct an ANR of dimension n>1, quasi-embeddable but not embeddable in R^{2n}, and an AR of dimension n>1, which does not "movably" embed in R^{2n}. These examples come close to, but don't quite resolve, Borsuk's problem: does every n-dimensional AR embed in R^{2n}? In the affirmative direction, we show that an n-dimensional compactum X embeds in R^{2n}, n>3, if H^n(X)=0 and H^{n+1}(X,X-pt)=0 for every pt\in X. There are applications in the entire metastable range as well. An n-dimensional compactum X with H^{n-i}(X-pt)=0 for each pt\in X and all i\le k embeds in R^{2n-k}. This generalizes Bryant and Mio's result that k-connected n-dimensional generalized manifolds embed in R^{2n-k}. Also, an acyclic compactum X embeds in R^m iff X x I embeds in R^{m+1} iff X x (triod) embeds in R^{m+2}. As a byproduct, we answer a question of T. Banakh on stable embeddability of the Menger cube.

研究动机与目标

• 为 $n > 3$ 时 $n$-维紧致空间在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中的完全上同调障碍提供完整刻画，解决 Borsuk 长期悬而未决的问题。
• 通过到球面的等变映射，为 $m > \frac{3(n+1)}{2}$ 时在 $\mathbb{R}^{m}$ 中的嵌入性建立必要且充分条件。
• 通过识别紧致空间在 $\mathbb{R}^{2n-k}$ 中嵌入的上同调条件，推广广义流形与可缩空间的嵌入结果。
• 构造在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中拟嵌入但不真正嵌入的 ANR 与 AR 例子，逼近但未完全解决 Borsuk 的猜想。
• 通过望远镜方法回答 T. Banakh 关于 Menger 立方体稳定嵌入性的问题。

提出的方法

• 本文使用望远镜构造，将嵌入问题建模为无限多面体 $T$ 到 $\mathbb{R}^m \times [0,\infty)$ 的层级保持嵌入，受一个到 $[0,\infty)$ 的恰当映射控制。
• 引入从 $X \times X \setminus \Delta$ 到 $S^{m-1}$ 的等变映射，其中因子交换对合作用于对角线的补集，作为嵌入性的关键准则。
• 主要障碍被识别为在 $\tilde{X}/\mathbb{Z}_2$ 上与向量丛相关的（扭曲）欧拉类的最高次幂，取值于 $H^{2n-1}(\tilde{X}; \mathbb{Z})$。
• 通过 Milnor 的正合序列与 Mittag-Leffler 条件，证明该障碍当且仅当在 $X \times X \setminus \Delta$ 的紧致子集 $K_i$ 上有 $\varprojlim^1 H^{2n-1}(K_i) = 0$ 时消失。
• 应用 Leray 谱序列于投影映射 $\pi_i: K_i \to X$，利用层上同调 $\Cal{H}^{n-d}(\pi_i)$，将 $X \setminus \{x\}$ 的局部上同调与 $K_i$ 的整体上同调联系起来。
• 证明利用了在假设 $H^{n-d}(X \setminus \{x\}) = 0$ 下，$H^{n-d}(K_i^x) \to H^{n-d}(K_j^x)$ 对于 $j > i$ 变为零的事实，从而使得 $\varprojlim^1$ 项消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个完整的上同调障碍，用于判断 $n > 3$ 时 $n$-维紧致空间 $X$ 是否可嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$？
• RQ2 在 $X \times X \setminus \Delta$ 上，因子交换对合的扭曲欧拉类的最高次幂消失，是否能刻画在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中的嵌入性？
• RQ3 广义流形的稳定范围嵌入定理能否推广到具有受控局部上同调的多面体？
• RQ4 所有在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中拟嵌入的 $n$-维 ANR 空间是否实际上都可嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$？
• RQ5 Menger 立方体在某个 $m$ 下是否为稳定可嵌入于 $\mathbb{R}^{m}$？

主要发现

• 当且仅当存在从 $X \times X \setminus \Delta$ 到 $S^{m-1}$ 的等变映射时，$n$-维紧致空间 $X$ 可嵌入 $\mathbb{R}^m$（$m > \frac{3(n+1)}{2}$），从而为嵌入性提供了拓扑准则。
• 当 $m = 2n$ 且 $n > 3$ 时，$X$ 可嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$ 当且仅当对合在 $X \times X \setminus \Delta$ 上的扭曲欧拉类的最高次幂消失。
• 若 $X$ 在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中拟嵌入，则其在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中真正嵌入当且仅当在 $X \times X \setminus \Delta$ 的紧致子集 $K_i$ 上，$\varprojlim^1 H^{2n-1}(K_i)$ 中的障碍消失。
• 当 $n > 3$ 时，若一个 $n$-维 ANR 在 $\mathbb{R}^{2n-1}$ 中拟嵌入，则其在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中可嵌入，为 Borsuk 问题方向提供了正面结果。
• 本文构造了一个 $n$-维 ANR（$n > 1$），其在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中拟嵌入但不真正嵌入，表明该障碍非平凡，且 Borsuk 猜想并非显然成立。
• 一个可缩紧致空间 $X$ 可嵌入 $\mathbb{R}^m$ 当且仅当 $X \times I$ 可嵌入 $\mathbb{R}^{m+1}$，且当且仅当 $X \times \text{triod}$ 可嵌入 $\mathbb{R}^{m+2}$，从而解决了 T. Banakh 关于 Menger 立方体稳定嵌入性的问题。