[论文解读] The Theorem of Ostrogradsky

R. P. Woodard|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用 81

一句话总结

本文回顾了奥斯特罗格拉茨基定理，该定理表明，在经典场论中，非退化的高阶导数拉格朗日量会导致具有线性不稳定的哈密顿量，使其不适合用于基本的相互作用量子场论。其主要贡献在于严格证明了此类理论不可避免地遭受类似鬼粒子的不稳定性，从而对可行的基本场论施加了最强的已知限制。

ABSTRACT

Ostrogradsky's construction of a Hamiltonian formalism for nondegenerate higher derivative Lagrangians is reviewed. The resulting instability imposes by far the most powerful restriction on fundamental, interacting, continuum Lagrangian field theories. A discussion is given of the problems raised by attempts to evade this restriction.

研究动机与目标

• 回顾并澄清非退化高阶导数拉格朗日量的奥斯特罗格拉茨基哈密顿建模方法。
• 强调此类理论必然遭受线性不稳定性，因此不适合用于基础物理的深刻含义。
• 考察通过约束或微扰截断尝试规避不稳定性的方法，并评估其在场论中的可行性。
• 确立该定理在排除量子引力和修正引力中高阶导数模型方面的核心作用。
• 讨论该定理向奇数阶导数系统扩展的最新进展及其对场论基础的影响。

提出的方法

• 通过将哈密顿构造推广至含N阶时间导数的拉格朗日量，推导高阶导数系统的正则形式。
• 为每一阶导数引入正则变量 $ X_i $ 和 $ P_i $，表明每增加一阶导数，自由度数量即翻倍。
• 通过勒让德变换构造哈密顿量，揭示其对最高阶动量呈线性依赖，从而导致能量下界无界。
• 分析通过施加约束来消除不稳定模式的微扰截断方案，表明其一致性仅在微扰级数收敛时成立。
• 将该形式化方法应用于具体模型，如高阶导数谐振子和具有引力场的粒子，以说明不稳定性与截断行为。
• 将分析扩展至场论，强调在3+1维中收敛性失败，以及在相互作用系统中一致约束施加的不可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何非退化的高阶导数拉格朗日量必然导致具有线性不稳定的哈密顿量？
• RQ2 在相互作用场论中，微扰截断或约束施加能否一致地消除奥斯特罗格拉茨基不稳定性？
• RQ3 该定理对可行的量子引力和修正引力模型有何影响？
• RQ4 该不稳定性在具体高阶导数场论中如何表现？是否可通过对称性或非局域性避免？
• RQ5 该定理向奇数阶导数系统推广的最新进展在多大程度上改变了可行场论的格局？

主要发现

• 非退化高阶导数拉格朗日量由于对最高阶动量的线性依赖，导致哈密顿量具有线性不稳定性，从而造成能量下界无界。
• 每增加一阶时间导数，正则自由度数量即翻倍，导致大量非物理模态的出现。
• 微扰截断仅在微扰展开收敛时才能恢复稳定、二阶理论，而目前尚不知在相互作用的3+1维场论中该收敛性是否成立。
• 在高阶导数谐振子模型中，微扰方法可恢复一个稳定解，其频率为 $ k_+^2 = u^2[1 + u + 2 u^2 + O( u^3)] $，而具有 $ k_-^2 o u^{-2} $ 的不稳定模态被舍弃。
• 对于具有高阶导数修正的引力场中粒子，有效加速度变为 $ rac{g}{2 u}[1 - u] $，表明在该经典力学情形下具有收敛性。
• 目前尚无已知的相互作用、3+1维场论能够一致地施加约束以规避奥斯特罗格拉茨基不稳定性，这凸显了该定理在限制可行量子场论中的根本作用。