[论文解读] The theta divisor and the Casson-Walker invariant

Peter Ozsváth, Zoltán Szabó|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文通过海格德分解和theta除子，利用路径依赖的谱流校正，定义了有理同调3-球面上$\mathrm{Spin}^c$结构集合上的一个取有理数值的不变量$\widehat{\theta}$，实现了拓扑不变性。关键结果通过指标理论和阿蒂亚-帕多家-辛格指标定理导出的校正项，精确建立了$\widehat{\theta}$与卡森-沃克不变量之间的关系。

ABSTRACT

We use Heegaard decompositions and the theta divisor on a Riemannian surface to define a three-manifold invariant for rational homology three-spheres. This invariant is defined on the set of $Spin^c$ structures $$ {\hat θ}\colon Spin^c(Y)\longrightarrow Q. $$ In the first part of the paper, we give the definition of the invariant (which builds on the theory developed in the article, "The theta divisor and three-manifold invariants"). In the second part, we establish a relationship between this invariant and the Casson-Walker invariant.

研究动机与目标

• 为满足$b_1(Y) = 0$的有理同调3-球面的$\mathrm{Spin}^c$结构定义一个拓扑不变量$\widehat{\theta}$。
• 通过引入与度量相关的校正项，解决theta除子构造中的路径依赖性问题。
• 利用指标理论，建立$\widehat{\theta}$与卡森-沃克不变量之间的精确关系。
• 通过谱流和阿蒂亚-帕多家-辛格指标理论，证明校正后的不变量与度量选择无关。

提出的方法

• 在一组$U$-允许度量的路径下，将函数$\theta_{h_t}(\mathfrak{a})$定义为雅可比簇中theta除子与拉格朗日子簇的交点的带符号计数。
• 通过引入与胞腔$U_0$和$U_1$相关的校正项$\xi^\circ(k_0)$和$\xi^\circ(k_1)$，来处理路径依赖性。
• 利用具有柱形端的流形的阿蒂亚-帕多家-辛格指标定理，定义全局校正项$\xi_{k_Y}(\mathfrak{a})$。
• 利用谱流关系，比较不同度量路径下$\theta_{h_t}(\mathfrak{a})$的差异。
• 将$S^3$上的$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-作用提升至旋量丛，并通过$G$-指标定理计算$g$-eta不变量。
• 通过非负曲率路径的度量形变，验证在透镜空间上校正项的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过theta除子和海格德分裂，为第一贝蒂数为零的有理同调3-球面定义一个取$\mathrm{Spin}^c$值的不变量？
• RQ2 theta除子交点计数中的路径依赖性由何引起？如何通过校正项实现拓扑不变性？
• RQ3 所得不变量$\widehat{\theta}$与卡森-沃克不变量之间存在何种关系？
• RQ4 校正项能否用柱形端流形的谱流和指标理论表达？
• RQ5 该不变量在非负标量曲率的度量形变下是否保持不变，特别是在透镜空间上？

主要发现

• 不变量$\widehat{\theta}(\mathfrak{a})$定义为$\xi^\circ(k_0) + \theta_{h_t}(\mathfrak{a}) + \xi^\circ(k_1) - \xi_{k_Y}(\mathfrak{a})$，其中校正项确保了拓扑不变性。
• $\theta_{h_t'}(\mathfrak{a}) - \theta_{h_t}(\mathfrak{a})$等于在$\mathbb{R} \times \Sigma$上$\mathrm{Spin}^c$狄拉克算子的复谱流。
• 校正项$\xi_{k_Y}(\mathfrak{a})$由$\mathrm{ind}_X(\not\!D) - \frac{c_1(\mathfrak{r})^2 - \sigma(X)}{8}$给出，与边界四维流形$X$的选择无关。
• 在透镜空间$L_{p,q}$上，由于可同伦至具有非负曲率的积度量，校正项$\xi^\circ(k_0')$和$\xi^\circ(k_1')$消失。
• 通过$G$-指标定理计算验证，不变量$\widehat{\theta}(\mathfrak{a})$与卡森-沃克不变量在归一化因子下一致。
• $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中非平凡群元素的$g$-eta不变量为$\eta_g(0) = -\csc(\pi g/p)\csc(\pi qg/p)$，该结果贡献于$\eta_\alpha(0)$的最终公式。