[论文解读] The Thompson-Higman monoids M_{k,i}: the J-order, the D-relation, and their complexity

Jean-Camille Birget|ArXiv.org|Apr 16, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究 Thompson-Higman 半群 $M_{k,i}$，重点关注其 Green 关系 $\fancyscript{J}$ 和 $\fancyscript{D}$，并确定了判定这些关系的计算复杂度。结果表明，对于标准生成集，$\fancyscript{J}$-序属于 P，但对于电路类生成集则为 coDP-完全；而 $\fancyscript{D}$-等价性为 $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$-完全，突显了高级复杂度类在半群结构中的作用。

ABSTRACT

The Thompson-Higman groups G_{k,i} have a natural generalization to monoids M_{k,i}, and inverse monoids Inv_{k,i}. We study some structural features of M_{k,i} and Inv_{k,i} and investigate the computational complexity of decision problems. The main interest of these monoids is their close connection with circuits and circuit complexity. The maximal subgroups of M_{k,1} are isomorphic to the groups G_{k,j} (1 \leq j \leq k-1); so we rediscover all the Thompson-Higman groups within M_{k,1}. The Green relations \leq_J and \equiv_D of M_{k,1} can be decided in deterministic polynomial time when the inputs are words over a finite generating set of M_{k,1}. When a circuit-like generating set is used for M_{k,1} then deciding \leq_J is coDP-complete. The multiplier search problem for \leq_J is xNPsearch-complete, whereas the multiplier search problems of \leq_R and \leq_L are not in xNPsearch unless NP = coNP. Deciding \equiv_D for M_{k,1} when the inputs are words over a circuit-like generating set, is \oplus_{k-1}.NP-complete. For Inv_{k,1} over a circuit-like generating set, deciding \equiv_D is \oplus_{k-1} P-complete.

研究动机与目标

• 分析 Thompson-Higman 半群 $M_{k,i}$ 及其逆对应物 ${\rm Inv}_{k,i}$ 的结构性质，特别关注 Green 关系。
• 确定在不同生成集下，$M_{k,1}$ 中判定 $\fancyscript{J}$-序和 $\fancyscript{D}$-关系的计算复杂度。
• 引入并表征复杂度类 xNPsearch，作为对 NPsearch 的推广，以处理解空间非多项式有界的搜索问题。
• 建立半群关系与电路复杂度之间的联系，特别是通过电路类生成集。
• 证明部分电路的像大小问题和模 $h$ 的像大小问题分别为 $\bigcirc\bullet{\rm NP}$-完全和 $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$-完全。

提出的方法

• 将 $M_{k,i}$ 定义为从 $BA^*$ 的右理想到其自身的最大延拓右理想同态构成的半群，其中 $|A|=k$，$|B|=i$，通过本质相等性和最大延拓确保唯一性。
• 使用多项式时间的单射搜索归约，将 $M_{k,1}$ 中的判定问题与已知复杂度类（特别是 coDP 和 $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$）联系起来。
• 引入类 xNPsearch，以捕捉解可能不多项式有界但验证仍可在多项式时间内完成的搜索问题。
• 建立 $\fancyscript{J}$-序与 $\fancyscript{D}$-关系问题与已知 NP-难问题之间的归约，通过验证和输入输出归约证明完备性结果。
• 应用模计数复杂度类分析模 $h$ 的像大小问题，证明当 $h \neq 1$ 时为 $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$-完全。
• 证明 $\fancyscript{J}$-序的乘数搜索问题是 xNPsearch-完全的，而 $\fancyscript{R}$ 和 $\fancyscript{L}$-序问题除非 NP = coNP，否则不在 xNPsearch 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入为有限生成集上的字时，判定 $M_{k,1}$ 中 $\fancyscript{J}$-序的计算复杂度是什么？
• RQ2 当使用电路类生成集而非标准生成集时，判定 $M_{k,1}$ 中 $\fancyscript{D}$-关系的复杂度如何变化？
• RQ3 能否将 $\fancyscript{J}$-序的乘数搜索问题归类于已知复杂度类？这对其解的结构有何含义？
• RQ4 新引入的 xNPsearch 类在捕捉解空间可能无界的问题中起什么作用？
• RQ5 部分电路的像大小和模 $h$ 的像大小问题与 $\bigcirc\bullet{\rm NP}$ 和 $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$ 等计数复杂度类有何关联？

主要发现

• 当输入为有限生成集上的字时，判定 $M_{k,1}$ 中的 $\fancyscript{J}$-序属于 P。
• 当使用电路类生成集时，判定 $M_{k,1}$ 中的 $\fancyscript{J}$-序为 coDP-完全。
• $\fancyscript{J}$-序的乘数搜索问题为 xNPsearch-完全，表明其位于标准 NPsearch 之外，除非 NP = coNP。
• $\fancyscript{R}$ 和 $\fancyscript{L}$-序的乘数搜索问题除非 NP = coNP，否则不在 xNPsearch 中，表明其本质更难。
• 使用电路类生成集时，判定 $M_{k,1}$ 中的 $\fancyscript{D}$-关系为 $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$-完全。
• 在电路类生成集下，${\rm Inv}_{k,1}$ 中判定 $\fancyscript{D}$-等价性为 $\bigoplus_{k-1}{\rm P}$-完全。