[论文解读] The Three Dimensional Viscous Camassa-Holm Equations, and Their Relation to the Navier-Stokes Equations and Turbulence Theory

Ciprian Foiaş, Darryl D. Holm+1 more|ArXiv.org|Mar 23, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用 49

一句话总结

本文建立了三维粘性Camassa-Holm（NS-$\alpha$）方程的全局正则性及有限维吸引子估计，证明其解动力学由 $\sim (L/\ell_\epsilon)^3$ 个自由度所支配——与Landau-Lifshitz湍流理论一致。此外，本文进一步证明当 $\alpha_1 \to 0$ 时，NS-$\alpha$模型的解收敛于三维Navier-Stokes方程的弱解，支持其作为Reynolds平均Navier-Stokes流的闭合模型的角色。

ABSTRACT

We show here the global, in time, regularity of the three dimensional viscous Camassa-Holm (Lagrangian Averaged Navier-Stokes-alpha) equations. We also provide estimates, in terms of the physical parameters of the equations, for the Hausdorff and fractal dimensions of their global attractor. In analogy with the Kolmogorov theory of turbulence, we define a small spatial scale, \ell_ε, as the scale at which the balance occurs in the mean rates of nonlinear transport of energy and viscous dissipation of energy. Furthermore, we show that the number of degrees of freedom in the long-time behavior of the solutions to these equations is bounded from above by (L/\ell_{epsilon})^3, where L is a typical large spatial scale (e.g., the size of the domain). This estimate suggests that the Landau-Lifshitz classical theory of turbulence is suitable for interpreting the solutions of the NS-alpha equations. Hence, one may consider these equations as a closure model for the Reynolds averaged Navier-Stokes equations (NSE). We study this approach, further, in other related papers. Finally, we discuss the relation of the NS-alpha model to the NSE by proving a convergence theorem, that as the length scale alpha tends to zero a subsequence of solutions of the NS-alpha equations converges to a weak solution of the three dimensional NSE.

研究动机与目标

• 在周期边界条件下，建立三维粘性Camassa-Holm（NS-$\\alpha$）方程解的全局存在性与正则性。
• 以物理参数表示NS-$\alpha$方程全局吸引子的Hausdorff维数与分形维数的估计。
• 通过将自由度数量与 $(L/\ell_\epsilon)^3$ 关联，将NS-$\alpha$模型与湍流理论联系起来，其中 $\ell_\epsilon$ 为非线性输运与粘性耗散达到平衡的尺度。
• 证明当 $\alpha_1 \to 0$ 时，NS-$\alpha$方程的解收敛于三维Navier-Stokes方程的弱解。

提出的方法

• 利用Sobolev空间中的能量估计与一致有界性，证明NS-$\alpha$方程解的全局正则性。
• 应用Landau-Lifshitz湍流理论，将自由度数量解释为 $(L/\ell_\epsilon)^3$，其中 $\ell_\epsilon$ 定义为非线性能量输运与粘性耗散平衡的尺度。
• 应用Aubin的紧致性定理，提取当 $\alpha_1 \to 0$ 时解的收敛子列。
• 推导出关于 $ \|u_{\alpha_1}\|_{L^2([0,T];V)} $、$ \|u_{\alpha_1}\|_{L^2([0,T];H)} $ 以及 $ \|A^{-1} du_{\alpha_1}/dt\|_{L^2([0,T];D(A)')} $ 的一致估计，且与 $\alpha_1$ 无关。
• 利用方程 $ \frac{du_{\alpha_1}}{dt} + \nu A u_{\alpha_1} + (I + \alpha_1^2 A)^{-1} \tilde{B}(u_{\alpha_1}, v_{\alpha_1}) = (I + \alpha_1^2 A)^{-1} f $，在对偶空间中推导时间导数的有界性。
• 应用引理1，通过 $ |A^{-1}\tilde{B}| \leq c \lambda_1^{-1/4} \|u_{\alpha_1}\| |v_{\alpha_1}| $ 控制非线性项 $ \tilde{B}(u_{\alpha_1}, v_{\alpha_1}) $，确保一致可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维粘性Camassa-Holm（NS-$\\alpha$）方程是否对所有时间都存在全局正则解？
• RQ2 NS-$\alpha$方程全局吸引子的分形维数与Hausdorff维数是多少？其与物理参数有何关系？
• RQ3 NS-$\alpha$方程长时间动力学中的自由度数量是否可估计为 $(L/\ell_\epsilon)^3$，其中 $\ell_\epsilon$ 为能量平衡尺度？
• RQ4 当 $\alpha_1 \to 0$ 时，NS-$\alpha$模型是否收敛于三维Navier-Stokes方程的弱解？

主要发现

• NS-$\alpha$方程对所有时间存在全局正则解，且满足一致有界性：$ |u_{\alpha_1}(t)|^2 + \alpha_1^2 \|u_{\alpha_1}(t)\|^2 \leq k_1 $ 以及 $ \nu \int_0^T (\|u_{\alpha_1}(s)\|^2 + \alpha_1^2 |Au_{\alpha_1}(s)|^2) ds \leq \bar{k}_2(T) $。
• 全局吸引子的分形维数与Hausdorff维数上界为 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $，其中 $\ell_\epsilon$ 为非线性能量输运与粘性耗散平衡的尺度。
• NS-$\alpha$方程长时间动力学中的自由度数量估计为 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $，与Landau-Lifshitz湍流理论一致。
• 当 $\alpha_1 \to 0$ 时，解序列 $u_{\alpha_1^j}$ 在 $L^2([0,T];H)$ 中强收敛，在 $L^2([0,T];V)$ 中弱收敛于某函数 $u$，该 $u$ 为三维Navier-Stokes方程的弱解。
• $v_{\alpha_1^j} = (I + \alpha_1^2 A)^{-1} u_{\alpha_1^j}$ 在 $L^2([0,T];V')$ 中强收敛，且一个几乎处处（a.e.）在 $[0,T]$ 上满足 $v(t) = u(t)$。
• $\tilde{B}(u_{\alpha_1^j}, v_{\alpha_1^j})$ 在 $L^2([0,T]; D(A)')$ 中弱收敛于 $B(u,u)$，确认在极限下与Navier-Stokes动力学的一致性。