[论文解读] The Thue choice number versus the Thue chromatic number of graphs

Erika Škrabuľáková|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文研究图的Thue色数π(G)与Thue选择数πₗ(G)之间的关系，表明对于某些图族——尤其是树和细分图——这些参数可能显著不同，其中πₗ(G)随最大度∆呈超线性增长，而π(G)保持有界。该研究综合了已有成果并指出了开放问题，表明在某些图类中，Thue选择数可远大于Thue色数。

ABSTRACT

We say that a vertex colouring $\varphi$ of a graph $G$ is nonrepetitive if there is no positive integer $n$ and a path on $2n$ vertices $v_{1}\ldots v_{2n}$ in $G$ such that the associated sequence of colours $\varphi(v_{1})\ldots\varphi(v_{2n})$ satisfy $\varphi(v_{i})=\varphi(v_{i+n})$ for all $i=1,2,\dots,n$. The minimum number of colours in a nonrepetitive vertex colouring of $G$ is the Thue chromatic number $\pi (G)$. For the case of vertex list colourings the Thue choice number $\pi_{l}(G)$ of $G$ denotes the smallest integer $k$ such that for every list assignment $L:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}}$ with minimum list length at least $k$, there is a nonrepetitive vertex colouring of $G$ from the assigned lists. Recently it was proved that the Thue chromatic number and the Thue choice number of the same graph may have an arbitrary large difference in some classes of graphs. Here we give an overview of the known results where we compare these two parameters for several families of graphs and we also give a list of open problems on this topic.

研究动机与目标

• 比较各类图族中Thue色数π(G)与Thue选择数πₗ(G)的差异。
• 识别π(G)与πₗ(G)显著不同的图类，特别是πₗ(G)远快于π(G)增长的情况。
• 综述使用概率方法与构造方法的非重复顶点染色及列表染色的现有成果。
• 突出开放问题，包括是否存在每个图都有一个非重复4-可选细分图。
• 澄清并统一该领域术语与符号，特别是区分Thue参数的顶点与边变体。

提出的方法

• 使用概率方法推导πₗ(G)的上界，尤其针对树与细分图。
• 应用Lovász局部引理及其他集中不等式，建立非重复列表染色存在的证明。
• 分析图的结构特性，如路径宽、最大度与二分结构，以界定π(G)与πₗ(G)。
• 回顾并比较先前研究结果，包括Alon等（2002）、Fiorenzi等（2015）与Dujmović等（2015）的工作，以统一术语与结论。
• 采用算法技术评估非重复染色问题的复杂性，包括使用蒙特卡洛算法求近似解。
• 综述各类图族（如路径、环、星图、完全图与平面图）中π(G)与πₗ(G)的已知精确值与界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于某些图族，Thue选择数πₗ(G)是否可远大于Thue色数π(G)？
• RQ2 是否存在常数k，使得每个图都有一个非重复k-可选的细分图？
• RQ3 树与外平面图中π(G)与πₗ(G)的确切关系为何？
• RQ4 是否存在针对特定图类的多项式时间算法，用于计算或近似πₗ(G)？
• RQ5 判断给定顶点染色是否为非重复染色的计算复杂性如何？

主要发现

• 对于路径Pₙ（n > 3），π(Pₙ) = 3，但πₗ(Pₙ) ≤ 4，表明存在虽小但非平凡的差距。
• 对于环Cₙ，当n ∉ {5, 7, 9, 10, 14, 17}时，π(Cₙ) = 3，且πₗ(Cₙ) ≤ 5，表明列表选择数有界。
• 对于星图Sₙ，π(Sₙ) = 2且πₗ(Sₙ) = 2，表明此情形下二者相等。
• 对于最大度为∆的树T，π(T) ≤ 4，但πₗ(T)可高达c∆¹⁺ε（任意ε > 0及某常数c），表明其呈超线性增长。
• 对于完全图Kₙ，π(Kₙ) = n且πₗ(Kₙ) = n，故两参数相等。
• 对于完全二分图Kₘ,ₙ，π(Kₘ,ₙ) = min{m,n} + 1且πₗ(Kₘ,ₙ) = min{m,n} + 1，表明二者相等。