[论文解读] The time-dependent Schroedinger equation, Riccati equation and Airy functions

Nathan A. Lanfear, Sergeĭ K. Suslov|ArXiv.org|Mar 20, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 51被引用 20

一句话总结

本文利用艾里函数和里卡蒂方程的解，为具有二次势的时变薛定谔方程构造了精确的格林函数。推导了坐标表象和动量表象下的显式传播子，求解了柯西初值问题，并建立了与超几何函数及巴尔曼函数的联系，适用于量子参量振子。

ABSTRACT

We construct the Green functions (or Feynman's propagators) for the Schroedinger equations of the form $iψ_{t}+{1/4}ψ_{xx}\pm tx^{2}ψ=0$ in terms of Airy functions and solve the Cauchy initial value problem in the coordinate and momentum representations. Particular solutions of the corresponding nonlinear Schroedinger equations with variable coefficients are also found. A special case of the quantum parametric oscillator is studied in detail first. The Green function is explicitly given in terms of Airy functions and the corresponding transition amplitudes are found in terms of a hypergeometric function. The general case of quantum parametric oscillator is considered then in a similar fashion. A group theoretical meaning of the transition amplitudes and their relation with Bargmann's functions is stablished.

研究动机与目标

• 求解具有变系数二次哈密顿量的时变薛定谔方程的柯西初值问题。
• 在坐标表象和动量表象下推导显式的格林函数（传播子）。
• 建立解与艾里函数、超几何函数及巴尔曼函数等特殊函数之间的联系。
• 通过特征里卡蒂方程的解对可积的量子参量振子情况进行分类。
• 为时变量子力学中数值方法的测试提供精确解。

提出的方法

• 采用形如 $ \psi = A(t) e^{iS(x,y,t)} $ 的试探解，其中相位函数 $ S(x,y,t) = \alpha(t)x^2 + \beta(t)xy + \gamma(t)y^2 $ 为二次型。
• 将时变薛定谔方程约化为关于 $ \alpha(t), \beta(t), \gamma(t) $ 的里卡蒂方程组，其中第一个方程为 $ \frac{d\alpha}{dt} - t + \alpha^2 = 0 $。
• 通过代换 $ \alpha = \mu'/\mu $，将里卡蒂方程转化为二阶线性常微分方程 $ \mu'' - t\mu = 0 $，其解可用艾里函数表示。
• 利用基本解 $ \mu(t) $，将格林函数表示为 $ G(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi i a(t)}} \exp\left(i \frac{a'(t)x^2 - 2xy + b(t)y^2}{a(t)} \right) $，其中 $ a(t), b(t) $ 为艾里函数。
• 通过规范变换和群论方法，将跃迁振幅与巴尔曼函数联系起来。
• 利用克劳森公式和伽马函数的反射恒等式，推导超几何函数的变换公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式构造具有 $ \pm t x^2 $ 势的时变薛定谔方程的格林函数？
• RQ2 艾里函数在求解由二次薛定谔哈密顿量导出的里卡蒂方程中起什么作用？
• RQ3 量子参量振子的跃迁振幅如何与超几何函数及巴尔曼函数相关联？
• RQ4 里卡蒂方程的解在何种意义上对时变薛定谔方程的可积情形进行分类？
• RQ5 从传播子导出的跃迁振幅具有何种群论意义？

主要发现

• 薛定谔方程 $ i\psi_t + \frac{1}{4}\psi_{xx} + t x^2 \psi = 0 $ 的格林函数被显式给出为 $ G(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi i a(t)}} \exp\left(i \frac{a'(t)x^2 - 2xy + b(t)y^2}{a(t)} \right) $，其中 $ a(t), b(t) $ 为艾里函数。
• 利用推导出的传播子，在坐标表象和动量表象下均获得了柯西初值问题的解。
• 量子参量振子的跃迁振幅以超几何函数 $ {}_2F_1 $ 的形式表达，并通过克劳森公式和伽马函数恒等式推导出显式变换公式。
• 通过其与巴尔曼函数的关系，确立了跃迁振幅的群论意义，将解与表示理论联系起来。
• 艾里函数 $ a(t) $ 与 $ b(t) $ 的朗斯基行列式为 $ -1 $，其导数满足 $ W(a'(t), b'(t)) = t $，证实了线性无关性与归一化。
• 通过求解 $ \mu'' - t\mu = 0 $ 的艾里函数解，初始条件为 $ \mu(0) = 0 $，$ \mu'(0) = 1/2 $，系统化的里卡蒂方程组被求解，从而以闭式表达出完整的传播子。