[论文解读] The Tits alternative for the automorphism group of a free product

Camille Horbez|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用 26

一句话总结

该论文在满足特定结构条件的前提下，建立了自由分解为不可约群（非ℤ同构）与有限生成自由群之直积的有限生成群的外自同构群的蒂茨选择公理。条件为每个因子及其外自同构群均满足蒂茨选择公理。关键结果将问题约化至不可约分量，从而为右角Artin群及具有拟多项式抛物子群的无挠相对双曲群的外自同构群提供了新证明。

ABSTRACT

Let $G=G_1\ast\dots\ast G_k\ast F$ be a countable group which splits as a free product, where all groups $G_i$ are freely indecomposable and not isomorphic to $\mathbb{Z}$, and $F$ is a finitely generated free group. If for all $i\in\{1,\dots,k\}$, both $G_i$ and its outer automorphism group $ ext{Out}(G_i)$ satisfy the Tits alternative, then $ ext{Out}(G)$ satisfies the Tits alternative. As an application, we prove that the Tits alternative holds for outer automorphism groups of right-angled Artin groups, and of torsion-free groups that are hyperbolic relative to a finite family of virtually polycyclic groups.

研究动机与目标

• 在特定结构条件下，建立自由积群的外自同构群的蒂茨选择公理。
• 通过将问题约化至不可约因子，推广关于Out(F_N)和映射类群的蒂茨选择公理的已有结果。
• 解决查尼与冯格曼提出的问题：关于右角Artin群的外自同构群的蒂茨选择公理。
• 将蒂茨选择公理推广至无挠相对双曲群的外自同构群，其抛物子群为拟多项式群。

提出的方法

• 利用格鲁什科分解，将有限生成群表示为不可约群与自由群的自由积。
• 将蒂茨选择公理应用于每个不可约因子及其外自同构群作为基础情形。
• 利用蒂茨选择公理在扩张、子群、有限指数上群及同构下的稳定性性质。
• 应用古亚尔代勒与莱维特关于具有平凡相对自同构群的相对双曲群的外自同构群结构结果。
• 利用拟多项式群的外自同构群可嵌入SL_N(ℤ)的事实，因此满足蒂茨选择公理。
• 通过涉及映射类群与抛物子群外自同构群的正合列，将Out(G)的研究约化至相对于抛物子群的不可约群情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由积的外自同构群的蒂茨选择公理是否可由其不可约因子及其外自同构群的蒂茨选择公理推出？
• RQ2 在不假设定义图Γ具有同质性的情况下，能否建立右角Artin群A_Γ的外自同构群的蒂茨选择公理？
• RQ3 对于相对于拟多项式子群为双曲的无挠群G，其外自同构群的蒂茨选择公理是否成立？
• RQ4 蒂茨选择公理在自由积与相对双曲性等群论构造下是否稳定？

主要发现

• 当G为有限生成群，其格鲁什科分解为G = G₁⁎…⁎Gₖ⁎F，且每个Gᵢ与Out(Gᵢ)均满足蒂茨选择公理时，Out(G)的蒂茨选择公理成立。
• 该结果为Out(F_N)——有限生成自由群的外自同构群——的蒂茨选择公理提供了新且更简短的证明。
• 蒂茨选择公理对右角Artin群A_Γ的外自同构群Out(A_Γ)成立，无需对定义图Γ施加同质性条件。
• 当G为无挠群且相对于有限个拟多项式子群为双曲时，Out(G)的蒂茨选择公理成立，相对类为拟多项式群。
• 由于拟多项式群的外自同构群可线性嵌入SL_N(ℤ)，其相对于拟多项式群类满足蒂茨选择公理。
• Out(G, ℙ)的一个有限指数子群嵌入于涉及映射类群与抛物子群外自同构群的乘积的正合列中，从而可约化至已知情形。