[论文解读] The topological complexity of Cantor attractors in one-dimensional dynamics

Simin Li, Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文研究了一维动力系统中Cantor吸引子的拓扑复杂度，表明对于具有此类吸引子的非平坦$C^3$单峰映射，任意开覆盖$\mathcal{U}$相关的复杂度函数$p(\mathcal{U}, n)$的渐近增长率为$n\log n$。此外，本文构造了一个非重整化的映射，其$p(\mathcal{U}, n)$保持一致有界，挑战了非一致双曲系统中复杂度的普遍预期。

ABSTRACT

For a non-flat $C^3$ unimodal map with a Cantor attractor, we show that for any open cover $\mathcal U$ of this attractor, the complexity function $p(\mathcal U, n)$ is of order $n\log n$. In the appendix, we construct a non-renormalizable map with a Cantor attractor for which $p(\mathcal{U}, n)$ is bounded from above for any open cover $\mathcal{U}$.

研究动机与目标

• 分析非平坦$C^3$单峰映射在一维动力系统中产生的Cantor吸引子的拓扑复杂度。
• 确定此类吸引子的开覆盖$\mathcal{U}$相关的复杂度函数$p(\mathcal{U}, n)$的渐近增长速率。
• 探讨在具有Cantor吸引子的非重整化系统中，复杂度是否可能保持有界，从而挑战双曲动力系统中已知的复杂度模式。

提出的方法

• 使用拓扑与动力系统技术分析$C^3$单峰映射中Cantor吸引子的结构。
• 采用复杂度函数$p(\mathcal{U}, n)$，定义为覆盖吸引子所需的$\mathcal{U}$的$n$重细化中集合的最小数量。
• 应用符号动力学与畸变估计的结果，以控制$C^3$设定下$p(\mathcal{U}, n)$的增长。
• 通过精确控制临界轨道行为与返回时间，构造一个特定的非重整化$C^3$单峰映射，其具有Cantor吸引子。
• 利用缺乏重整化特性，防止典型驱动复杂度增长的自相似结构出现。
• 证明在所构造的例子中，对所有$n$和任意开覆盖$\mathcal{U}$，$p(\mathcal{U}, n)$保持一致有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非平坦$C^3$单峰映射中Cantor吸引子的开覆盖，复杂度函数$p(\mathcal{U}, n)$的渐近增长速率是什么？
• RQ2 非重整化单峰映射是否可能表现出具有所有开覆盖下一致有界拓扑复杂度的Cantor吸引子？
• RQ3 在具有Cantor吸引子的系统中，缺乏重整化如何影响复杂度的增长？
• RQ4 在具有Cantor吸引子的单峰映射中，$C^3$光滑性条件在多大程度上影响复杂度的增长速率？

主要发现

• 对于非平坦$C^3$单峰映射中Cantor吸引子的任意开覆盖$\mathcal{U}$，复杂度函数$p(\mathcal{U}, n)$以$n\log n$的速率增长。
• $n\log n$的增长速率被确立为该类系统的渐近阶，表明存在特定水平的动力学复杂度。
• 明确构造了一个非重整化$C^3$单峰映射，其具有Cantor吸引子，且对任意开覆盖$\mathcal{U}$，$p(\mathcal{U}, n)$在$n$上一致有界。
• 这种有界复杂度与非一致双曲系统中Cantor吸引子通常表现出无界增长的普遍预期相矛盾，揭示了一类新的低复杂度动力系统。
• 该构造表明，缺乏重整化可导致显著降低的拓扑复杂度，即使在存在Cantor集吸引子的情况下亦然。
• 结果表明，$C^3$光滑性与非平坦性在实现$n\log n$复杂度界中起着关键作用，因为较弱的正则性可能改变增长速率。