[论文解读] The Topological Fundamental Group and Hoop Earring Spaces

Jeremy Brazas|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文通过将环路空间商映射通过一个带有对合的自由拓扑幺半群 $M(X)$ 因子化，计算了霍普伊尔环形耳环空间（定义为完全路径不连通、豪斯多夫且无基点的空间 $X$ 的约化悬垂）的拓扑基本群 $ olimits_{1}^{ ext{top}}$。关键结果表明，当 $X$ 不是正则空间时，$ olimits_{1}^{ ext{top}}( olimits X_{+}, x)$ 是 $T_1$ 空间但不是拓扑群，从而提供了对“$ olimits_{1}^{ ext{top}}$ 是到拓扑群范畴的函子”这一说法的反例。

ABSTRACT

The topological fundamental group $π_{1}^{top}$ is a topological invariant that assigns to each space a quasi-topological group and is discrete on spaces which are well behaved locally. For a totally path-disconnected, Hausdorff, unbased space $X$, we compute the topological fundamental group of the "hoop earring" space of $X$, which is the reduced suspension of $X$ with disjoint basepoint. We do so by factorizing the quotient map $Ω(ΣX_{+},x) o π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ through a free topological monoid with involution $M(X)$ such that the map $M(X)\shortrightarrow π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is also a quotient map. $π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is T1 and an embedding $X\shortrightarrow π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ illustrates that $π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is not a topological group when $X$ is not regular. These hoop earring spaces provide a simple class of counterexamples to the claim that $π_{1}^{top}$ is a functor to the category of topological groups.

研究动机与目标

• 计算由完全路径不连通、豪斯多夫且无基点的空间 $X$ 的约化悬垂构造的霍普伊尔环形耳环空间 $ olimits_{1}^{\text{top}}$ 的拓扑基本群。
• 分析 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 的拓扑结构，判断其是否构成拓扑群。
• 通过构造霍普伊尔环形耳环空间的显式反例，证明 $ olimits_{1}^{\text{top}}$ 并非到拓扑群范畴的函子。
• 建立从基于环路空间 $ olimits(\nolimits X_{+}, x)$ 到 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 的商映射通过一个带有对合的自由拓扑幺半群 $M(X)$ 的因子化。

提出的方法

• 将基于环路空间 $ olimits(\nolimits X_{+}, x)$ 到 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 的商映射通过一个带有对合的自由拓扑幺半群 $M(X)$ 因子化，将 $M(X)$ 视为中间结构。
• 将 $M(X)$ 定义为由 $X$ 生成的带有对合的自由拓扑幺半群，并赋予使其映射 $M(X) \to \nolimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 成为商映射的拓扑。
• 利用 $X$ 的拓扑性质——特别是其完全路径不连通性和豪斯多夫性——分析 $ olimits X_{+}$ 及其环路空间的结构。
• 通过分析群拓扑中点的闭包性质，证明 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 是 $T_1$ 空间。
• 构造一个嵌入 $X \to \nolimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$，以证明当 $X$ 不是正则空间时，群拓扑不是离散的。
• 利用 $X$ 的正则性失败的性质，证明 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 无法成为拓扑群，从而破坏其到拓扑群范畴的函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $X$ 为完全路径不连通且豪斯多夫空间时，霍普伊尔环形耳环空间 $ olimits X_{+}$ 的拓扑基本群 $ olimits_{1}^{\text{top}}$ 的结构是什么？
• RQ2 当 $X$ 不是正则空间时，$ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 是否构成拓扑群？
• RQ3 商映射 $ olimits(\nolimits X_{+}, x) \to \nolimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 是否能通过一个带有对合的自由拓扑幺半群 $M(X)$ 因子化？
• RQ4 当 $X$ 不是正则空间时，是否存在嵌入 $X \to \nolimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$，从而表明 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 不可能是拓扑群？
• RQ5 霍普伊尔环形耳环空间是否构成对“$ olimits_{1}^{\text{top}}$ 是到拓扑群范畴的函子”这一说法的反例？

主要发现

• 拓扑基本群 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 是 $T_1$ 空间，表明在群拓扑中单点集是闭集。
• 映射 $M(X) \to \nolimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 是商映射，确立了 $M(X)$ 是由 $X$ 生成的带有对合的自由拓扑幺半群的拓扑商。
• 存在一个嵌入 $X \to \nolimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$，表明当 $X$ 不是正则空间时，群拓扑不是离散的。
• 当 $X$ 不是正则空间时，$ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 不是拓扑群，因为群运算在诱导拓扑下不连续。
• 霍普伊尔环形耳环空间 $ olimits X_{+}$ 提供了对“$ olimits_{1}^{\text{top}}$ 是到拓扑群范畴的函子”这一说法的反例。
• 通过 $M(X)$ 的因子化提供了一个具体的拓扑模型，用于理解 $ olimits_{1}^{\text{top}}(\nolimits X_{+}, x)$ 的结构，揭示了在非正则情形下其非群性质。