[论文解读] The topology of spaces of knots

Dev Sinha|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 28

一句话总结

本文为高维流形中的纽结空间构建了两个弱同伦等价的模型：一个基于配置空间的映射空间模型和一个同调单纯模型。同调单纯模型在基空间单连通时，对上同调与同伦群的谱序列收敛，且明确了显式的消去线，首次实现了嵌入空间同伦群的有理数计算，并与Vassiliev和Kontsevich的有限型不变量理论相联系。

ABSTRACT

We present two models for the space of knots which have endpoints at fixed boundary points in a manifold with boundary, one model defined as an inverse limit of spaces of maps between configuration spaces and another which is cosimplicial. These models build on the calculus of isotopy functors and are weakly homotopy equivalent to knot spaces when the ambient dimension is greater than three. The mapping space model, and the evaluation map on which it builds, is suitable for analysis through differential topology. The cosimplicial model gives rise to spectral sequences which converge to cohomology and homotopy groups of spaces of knots when they are connected. We explicitly identify and establish vanishing lines in these spectral sequences.

研究动机与目标

• 为带边流形中纽结空间（端点固定且切向量固定）构造弱同伦等价的模型。
• 基于Fulton-MacPherson配置空间的完备化，开发一个用于计算同伦群与上同调群的同调单纯模型。
• 在连通性与维数条件下，建立纽结空间上同调与同伦群的谱序列并证明其收敛性。
• 在这些谱序列中识别出显式的消去线，从而实现嵌入空间同伦群的首次有理数计算。
• 通过谱序列比较，将模型与Vassiliev及Kontsevich的有限型不变量理论相联系。

提出的方法

• 利用Goodwillie的同伦型函子微分学构建流形中纽结空间的模型。
• 作为Fulton-MacPherson配置空间完备化之间映射的同伦极限，构造映射空间模型。
• 通过修改后的配置空间与退化映射，利用树的范畴索引结构，发展同调单纯模型。
• 应用Eilenberg-Moore与Leray-Serre谱序列分析配置空间及其完备化相关纤维序列的同调。
• 利用谱序列的自然性，比较包含映射 $ C_p(M) o M^{ imes p} $ 中底空间、纤维与截面的同调。
• 通过连通性与维数参数，确定同调单纯谱序列中归一化同调的消去条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用配置空间及其完备化对高维流形中的纽结空间进行建模？
• RQ2 同调单纯模型会产生哪些谱序列？在何种条件下它们收敛？
• RQ3 纽结空间上同调与同伦谱序列中的显式消去线是什么？
• RQ4 这些谱序列如何与Vassiliev的有限型不变量理论及Kontsevich的理论相联系？
• RQ5 这些模型能否用于计算嵌入空间的有理数同伦群？$ E^1 $-页的结构如何？

主要发现

• 当 $ M $ 单连通且 $ ext{dim}(M) eq 3 $ 时，同调单纯模型产生一个收敛于 $ ext{Emb}(I,M) $ 上同调与同伦群的谱序列。
• 在上同调谱序列中确立了一条下消去线，其斜率为 $ rac{m-1}{2} $，其中 $ m $ 为 $ M $ 的维数。
• 对于同调单纯空间的归一化同调，当 $ q < rac{m-1}{2}p $ 时满足消去条件，从而保证谱序列收敛。
• 上同调谱序列的消去线与 $ ext{Emb}(I, I^m) $ 或 $ ext{Hom}( ext{pt}, ext{pt}) $ 的消去线一致，具体取决于流形的连通性。
• 有理上同调谱序列的 $ E^1 $-项在 $ \frac{m-1}{2}p $ 与 $ (k+1)p $ 的较小值以下为零，其中 $ k $ 为 $ M $ 的连通性。
• 这些模型首次实现了嵌入空间同伦群的有理数计算，并证实了Kontsevich关于 $ E^1 $-项的猜想。