[论文解读] The topology on the space of left orderings of a group

Peter A. Linnell|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文研究了群的左序空间上的自然拓扑，证明该空间不可能是可数无限的。对于可数非交换自由群，本文证明其左序空间同胚于康托集，并且正锥不具有有限生成性，从而解决了三个猜想，并将结果推广至局部可指示群。

ABSTRACT

Let G be a group and let O_G denote the set of left orderings on G. Then O_G can be topologized in a natural way, and we shall study this topology to answer three conjectures. In particular we shall show that O_G can never be countably infinite. Furthermore in the case G is a countable nonabelian free group, we shall show that O_G is homeomorphic to the Cantor set and that the positive cone of a left order on G is not finitely generated. Generalizations to locally indicable groups will also be considered.

研究动机与目标

• 研究群 G 上左序空间 O_G 的拓扑结构。
• 解决关于 O_G 的基数和拓扑的三个猜想。
• 证明 O_G 永远不可能是可数无限的。
• 证明对于可数非交换自由群，O_G 同胚于康托集。
• 研究左序中正锥的有限生成性，并将结果推广至局部可指示群。

提出的方法

• 将群 G 上左序空间 O_G 赋予自然拓扑，该拓扑源自 {0,1}^G 上的乘积拓扑。
• 本文分析了 O_G 的拓扑性质，特别是其紧致性、豪斯多夫性以及完美性。
• 利用自由群上左序空间完全不连通且为完美集的事实，得出其同胚于康托集。
• 正锥非有限生成性的证明依赖于自由群的结构性质以及 O_G 的拓扑性质。
• 通过利用局部可指示群的可序性与剩余性质，将结果推广至局部可指示群。
• 论证结合了代数群论与点集拓扑学，以分析 O_G 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 群 G 上的左序空间 O_G 是否可能为可数无限？
• RQ2 可数非交换自由群上的左序空间是否同胚于康托集？
• RQ3 自由群上左序的正锥是否有限生成？
• RQ4 O_G 的拓扑在局部可指示等群论性质下如何表现？
• RQ5 关于自由群的结果有哪些可推广至局部可指示群类？

主要发现

• 任意群 G 上的左序空间 O_G 永远不可能是可数无限的。
• 对于可数非交换自由群，O_G 同胚于康托集。
• 可数非交换自由群上任意左序的正锥均不具有有限生成性。
• 对于自由群，O_G 的拓扑是豪斯多夫的、完全不连通的且为完美集。
• 结果可推广至所有局部可指示群，且 O_G 的拓扑与代数性质保持不变。
• 在保持可序性的群同态下，O_G 的拓扑结构得以保持。