[论文解读] The total irregularity of a graph

Hosam Abdo, Brandt, Stephan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2012

Graph theory and applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入了图的总不规则性，定义为所有顶点对之间度数差绝对值之和的一半，并确定了具有最大总不规则性的图。证明了在所有阶为 n 的树中，星图实现了最大总不规则性 (n−1)(n−2)，并刻画了具有最大总不规则性的图的一般结构，表明上界为 1/12(2n³−3n²−2n±3)，具体取决于 n 的奇偶性。

ABSTRACT

In this note a new measure of irregularity of a graph G is introduced. It is named the total irregularity of a graph and is defined as irrt(G) = 1 / 2∑u,v ∈V(G) |dG(u)-dG(v)|, where dG(u) denotes the degree of a vertex u ∈V(G). All graphs with maximal total irregularity are determined. It is also shown that among all trees of the same order the star has the maximal total irregularity.

研究动机与目标

• 基于成对度数差，定义并形式化一种新的图不规则性度量。
• 确定在给定阶 n 下实现最大总不规则性的图的结构。
• 为一般图和树建立总不规则性的紧上界。
• 表明总不规则性完全由度序列决定，而不同于传统的不规则性度量。

提出的方法

• 将总不规则性定义为 irrt(G) = 1/2 ∑_{u,v∈V(G)} |d_G(u)−d_G(v)|，即对所有无序顶点对进行对称求和。
• 利用度序列分析和极值图论，识别使该和最大的图。
• 基于通用顶点数（q）和阶 n 进行情况分析，区分 n 为偶数和奇数的情况。
• 通过划分顶点贡献（通用与非通用集合之间，以及非通用集合内部）推导最大总不规则性的闭式表达式。
• 使用不等式和组合恒等式，界定添加或删除边时总不规则性的变化。
• 通过反证法证明最优性：表明任何对所提结构的偏离都会使总不规则性增加或保持不变，从而与最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶为 n 的图的总不规则性度量的最大可能值是多少？
• RQ2 在所有阶为 n 的图中，哪些图实现了最大总不规则性？
• RQ3 树的总不规则性与其他树相比如何，哪棵特定树使其最大？
• RQ4 总不规则性是否完全由度序列决定，它与经典不规则性度量有何不同？
• RQ5 实现最大总不规则性的图的结构是怎样的，特别是关于通用与非通用顶点的结构？

主要发现

• 对于任意阶为 n 的图，当 n 为偶数时，最大总不规则性为 1/12(2n³−3n²−2n)，当 n 为奇数时为 1/12(2n³−3n²−2n+3)。
• 星图在所有阶为 n 的树中唯一地实现了最大总不规则性，其值为 (n−1)(n−2)。
• 具有最大总不规则性的图恰好包含一个或两个非通用顶点，其度数模式取决于 n 和 q。
• 实现最大总不规则性的非同构图的数量为 2^{⌊n/2⌋−1}，对应于不影响总不规则性的可选边。
• 总不规则性完全由度序列决定，使其比基于边的经典不规则性度量更具鲁棒性。
• 总不规则性是经典不规则性度量的上界，本文建立了定量关系：对于连通图，有 irrt(G) ≤ n²·irr(G)/4。