[论文解读] The trace formula and the existence of PEL type Abelian varieties modulo p

Arno Kret|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文在拉波普-朗兰兹猜想与亚瑟猜想成立的条件下，利用迹公式证明了类型 (A) 和 (C) 的 PEL 型志村簇模 p 时的牛顿层非空性。此外，通过构造一个特定的 Hecke 算子以确保自守表示空间中迹非零，进一步在相同假设下证明了奇数维正交群情形的非空性，从而确认了具有指定 p 进 Hodge 结构的阿贝尔簇的存在性。

ABSTRACT

We show, using the trace formula, that any Newton stratum of a Shimura variety of PEL-type of types (A) and (C) is non-empty at the primes of good reduction. Furthermore we prove conditionally the non-emptiness for Shimura data associated to odd Spin groups. Our results are conditional on Rapoport-Langlands conjecture and Arthur's conjectures on the discrete spectrum. Both these results have been announced by Arthur and Kisin in significant cases.

研究动机与目标

• 证明在良好约化素数处，类型 (A) 与 (C) 的 PEL 型志村簇中每个牛顿层均非空。
• 在自守形式理论中深奥猜想成立的条件下，将非空性结果推广至与奇数维正交群相关的志村数据。
• 建立一种基于迹公式与稳定轨道积分的方法，以检测牛顿层中上同调的非零性，从而确保其几何上的非空性。
• 构造一个特定的 Hecke 算子，使得其对应的迹公式表达式非零，从而证明具有给定 Dieudonné 等构模结构的阿贝尔簇的存在性。
• 验证在群的拟分裂内形 G* 上，对一个精心选择的函数，其迹非零，该结论依赖于斯坦伯格表示与伪系数的性质。

提出的方法

• 使用科特维茨迹公式计算 PEL 型志村簇模 p 时牛顿层中的点数。
• 通过分析扭曲轨道积分并将其转移到内形群上的稳定迹，将迹公式限制于单个牛顿层。
• 应用简化版的稳定迹公式，计算在拟分裂内形群 G* 的尖点自守表示上的 b-截断迹之和。
• 选取一个 Hecke 算子 f^p，使得仅一个自守表示 Π₀ 有显著贡献，其余贡献在 α 整除意义下具有正实数比。
• 通过构造具有正普朗切尔测度的表示并利用伪系数技术，证明迹 Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p) 非零。
• 通过诱导表示与对抛物子群的限制，验证在所选函数下，G* 上的斯坦伯格表示支持非零迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可容许等构模 b ∈ B(G_{Q_p}, μ) 是否都能作为特征 p 时具有 PEL 结构的阿贝尔簇的有理 Dieudonné 模的结构？
• RQ2 能否通过迹公式方法证明 PEL 型志村簇（类型 (A) 与 (C)）中牛顿层的非空性？
• RQ3 在何种条件下，可利用自守形式与迹公式技术将非空性结果推广至奇数维正交群？
• RQ4 是否存在一个 Hecke 算子 f^p，使得在自守表示上的迹公式表达式能检测到给定牛顿层中上同调的非零性？
• RQ5 能否为在 p 处的合适局部表示 Π_p 保证迹 Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π_p) 非零？

主要发现

• 通过迹公式与科特维茨公式，已证明对于 PEL 型（A）与（C）志村簇，任意 b ∈ B(G_{Q_p}, μ) 对应的牛顿层均非空。
• 在亚瑟猜想与拉波普-朗兰兹猜想成立的条件下，已证明与辛正交群相关的志村簇中牛顿层的非空性。
• 当 Hecke 算子 f^p 的选择使得贡献比为正时，迹公式表达式 (0.1) 非零，从而确保了上同调的非零性。
• 在函数 f^{G*} 下，拟分裂内形 G* 上的斯坦伯格表示支持非零迹，这对非零性论证至关重要。
• 迹 Tr(f^{G*}, St_{G*}) 非零，通过构造一个非平凡的 H*-同态进入斯坦伯格表示，并利用伪系数迹恒等式得以证明。
• 通过正普朗切尔测度与单位性约束，已确认存在一个表示 Π₀，使得其局部迹 Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p) 非零。